四元群

Q的環圖。每一種顏色代表連結至單位元(1)之任一元素的次方。例如，紅色的環反映了i²=−1、i³=−i和i⁴=1的事實。紅環亦反映了(−i)²=−1、(−i)³=i和(−i)⁴=1之事實。

在群論裡，四元群是指一個8目的不可換群。它常被標示為Q，且被寫成乘法的形式，以下列的8個元素

Q = {1, −1, i, −i, j, −j, k, −k}

這裡，1是單位元素，(−1)² = 1且對每個Q內的a，(−1)a = a(−1) = −a。剩下的乘法律能由下列的關係獲得：

i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1

Q的凱萊表如下：

	1	i	j	k	−1	−i	−j	−k
1	1	i	j	k	−1	−i	−j	−k
i	i	−1	k	−j	−i	1	−k	j
j	j	−k	−1	i	−j	k	1	−i
k	k	j	−i	−1	−k	−j	i	1
−1	−1	−i	−j	−k	1	i	j	k
−i	−i	1	−k	j	i	−1	k	−j
−j	−j	k	1	−i	j	−k	−1	i
−k	−k	−j	i	1	k	j	−i	−1

需注意的是，此一群為非可換的；如ij=−ji。Q有著漢彌爾頓群較不常見的性質：每一個Q的子群都是其正規子群，但這個群不是可換的。每一個漢彌爾頓群都會含有一個或多個Q。

在抽象代數裡，可以造出一個其基底為{1,i,j,k}的實四維向量空間，且使用上面的乘法表和分配律來形成一個結合代數。其即為一個稱為四元數的除環。需注意的是，這並不是在Q上的群代數(其應該是8維的)。相反地，亦可以先由四元數開始，再「定義」出由八個元素{1, −1, i, −i, j, −j, k, −k}所組成之乘法子群做為四元群。

i、j和k都是Q內4目的元素且選定其中任兩個都可以產生出整個群來。Q有著下列的展現

\langle x,y\mid x^{4}=1,x^{2}=y^{2},yxy^{-1}=x^{-1}\rangle

其中可以取成i=x、j=y及k=xy。

Q的中心及交換子群為{±1}。其商群 Q/{±1}會同構於克萊因四元群V。Q的內自同構群會同構於Q同餘其中心，且因此也會同構於克萊因四元群。Q的全自同構群會同構於對稱群S₄。Q的外自同構群因此為S₄/V，其會同構於S₃。

四元群Q亦可視為是作用於在有限體GF(3)上之二維向量空間的八個非零元素。關於其圖像，請見圖像化GL(2,p)（页面存档备份，存于互联网档案馆）。

廣義四元群

一個群若被稱為廣義四元群，則表示其有一個展現

\langle x,y\mid x^{2^{n-1}}=1,x^{2^{n-2}}=y^{2},yxy^{-1}=x^{-1}\rangle

其中n為大於3的整數。此一群的目為2ⁿ。原本的四元群為n=3時的特例。廣義四元群可以被理解為單位四元數的子群，其產生子為

x=e^{2\pi i/2^{n-1}}

y=j\,

廣義四元群是雙循環群此一更大類型的一類。廣義四元群有著每個可換子群都是循環的性質。可證明一具有此性質(每個可換子群都是循環的)之有限p-群若不是循環群就是廣義四元群。

另見