Lp範數

$L_{p}$-范数（英语：$L_{p}$-norm，亦称$\ell _{p}$-范数、$p$-范数)是向量空间中的一组范数。$L_{p}$-范数与幂平均有一定的联系。它的定义如下：

$L_{p}({\vec {x}})=\lVert {\vec {x}}\rVert _{p}={\Bigl (}\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}{\Bigr )}^{1/p},\qquad {\vec {x}}=\{x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\},\,p\geqslant 1.$

$p$ 的不同取值

图中的$q$即是$L_{p}$范数中的$p$。这是当$p$取不同值时，在$\mathbb {R} ^{2}$空间上的$L_{p}$-范数等高线的其中一条。该图展现了各$L_{p}$-范数的形状。

• $p=-\infty$: $\lVert {\vec {x}}\rVert _{\infty }=\lim _{p\to -\infty }{\Bigl (}\sum \limits _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}{\Bigr )}^{1/p}=\min _{i}|x_{i}|$。
• $p=0$：$\lVert {\vec {x}}\rVert _{0}=\sum _{i=1}^{n}\left[x_{i}\neq 0\right]$，也就是所有$x_{i}$中，不等于零的个数。注意，这里的$L_{0}$-范数并非通常意义上的范数（不满足三角不等式或次可加性）。
• $p=1$：$\lVert {\vec {x}}\rVert _{1}=\sum \limits _{i=1}^{n}|x_{i}|$，即$L_{1}$-范数是向量各分量绝对值之和，又称曼哈顿距离。
• $p=2$: $\lVert {\vec {x}}\rVert _{2}={\sqrt {\sum \limits _{i=1}^{n}|x_{i}|^{2}}}$，此即欧氏距离。
• $p=+\infty$: $\lVert {\vec {x}}\rVert _{\infty }=\lim _{p\to +\infty }{\Bigl (}\sum \limits _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}{\Bigr )}^{1/p}=\max _{i}|x_{i}|$，此即无穷范数或最大范数，亦称切比雪夫距离。

在机器学习中的应用

主条目：正则化 (计算机科学)

在机器学习中，为了对抗过拟合、提高模型的泛化能力，可以通过向目标函数当中引入参数向量的$L_{p}$-范数来进行正则化。其中最常用的是引入$L_{1}$-范数的$L_{1}$-正则项和引入$L_{2}$-范数的$L_{2}$-正则项；前者有利于得到稀疏解，后者有利于得到平滑解。