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{{noteTA
|G1=Math
}}
[[File:Unit-circle sin cos tan cot exsec excsc versin vercos coversin covercos.svg|thumb|280px|right|所有关于某一角θ的[[三角函数]]都通过建立一个圆心为O的单位圆在几何上来定义]]
{{三角学}}
'''三角学'''（{{lang-en|Trigonometry}}）是[[數學]]的一個分支，主要研究[[三角形]]，以及三角形中边与角之间的关系。三角学定義了[[三角函數]]，可以描述三角形边与角的关系，而且都是[[周期函数]]，可以用來描述周期性的現象。三角学在西元前三世紀時開始發展，最早是[[幾何學]]的一個分支，廣泛的用在天文量測中<ref>R. Nagel (ed.), ''Encyclopedia of Science'', 2nd Ed., The Gale Group (2002)</ref>，三角学也是[[測量|測量學]]的基礎。

三角学的基礎是平面三角学，研究平面上的三角形中边与角之间的关系，分为角的度量、[[三角函数]]与[[反三角函数]]、诱导公式、和与差的公式、倍角、半角公式、和差化积与积化和差公式、解三角形等内容，可能會是單獨的一個科目或是在[[预科微积分]]教授，三角函數在[[純數學]]及[[應用數學]]中的許多領域中出現，例如[[傅立葉分析]]及[[波函數]]等，是許多科技領域的基礎。

三角学也包括球面三角學，研究[[球面]]上，由[[大圓]]的弧所包圍成的球面三角形，位在[[曲率]]為正值常數的[[曲面]]上，是橢圓幾何的一部份，球面三角學是[[天文學]]及[[航海]]的基礎，也在[[测量学]]、制图学、[[结晶学]]、仪器学等方面有广泛的应用。負曲率曲面上的三角学則是[[雙曲幾何]]中的一部份。

== 历史 ==

[[苏美尔]]天文学家引入了角度测量，将一个圆分割为360度。<ref>Aaboe, Asger. Episodes from the Early History of Astronomy. New York: Springer, 2001. ISBN 978-0-387-95136-2</ref>他们和之后的[[巴比伦人]]都在研究相似三角形各边之间的比例关系，并发现了其中一部分比例，但是并没有将其发展为一套系统的方法。[[努比亚|古代努比亚人]]也使用了类似的方法。<ref>{{cite book |author=Otto Neugebauer |title=A history of ancient mathematical astronomy. 1 |url=http://books.google.com/books?id=vO5FCVIxz2YC&pg=PA744 |year=1975 |publisher=Springer-Verlag |isbn=978-3-540-06995-9 |pages=744– |access-date=2013-03-23 |archive-date=2013-10-09 |archive-url=https://web.archive.org/web/20131009050901/http://books.google.com/books?id=vO5FCVIxz2YC&pg=PA744 |dead-url=no }}</ref>[[古希腊人]]最早将三角学转变成一套系统学科。<ref>"[http://www.math.rutgers.edu/%7Echerlin/History/Papers2000/hunt.html The Beginnings of Trigonometry] {{Wayback|url=http://www.math.rutgers.edu/%7Echerlin/History/Papers2000/hunt.html |date=20130329072442 }}". Rutgers, The State University of New Jersey.</ref>

穆斯林天文学家[[巴塔尼]]引入了我们今天熟知的正弦、余弦、正切、余切等术语，并且提出了正切{{notetag|阿拉伯语ظل，意味阴影}}和余切的概念。

[[明代]]末年，由于[[历法]]改革的需要，[[西学东渐]]中陆续引进了[[几何学]]、三角学等西方[[数学]]。这项工作仍在[[清朝]]继续进行，其中最重要的是由[[波兰]][[传教士]][[穆尼阁]]和[[薛凤祚]]所介绍的[[对数]]方法。薛凤祚所著《[[历学会通]]》的[[数学]]部分主要是传自穆尼阁的《[[比例对数表]]》（1653年）、《[[比例四线新表]]》和《[[三角算法]]》等各一卷。《比例对数表》和《比例四线新表》分别给出了1～10000的六位对数表和六位三角函数（[[正弦]]、[[余弦]]、[[正切]]、[[余切]]）对数表。书中把今天所说的“对数”称为“比例数”或“假数”，并简单解释了把[[乘]][[除]]运算化为[[加]][[减]]运算的道理。这是对数方法在中国的首次介绍。对数是17世纪最重要的发现之一，它有效地简化了繁重的计算工作。在对数、[[解析幾何]]和[[微積分]]这三种当时西方最重要的数学方法中，也只有对数比较及时地传入了中国。《三角算法》所介绍的平面三角和球面三角知识，比《[[崇祯历书]]》中有关三角学的内容更丰富一些。如平面三角中包含有[[正弦定理]]、[[余弦定理]]、[[正切定理]]和[[半角定理]]等，且多是运用三角函数的对数进行计算。球面三角中增加[[半角公式]]、[[半弧公式]]、[[达朗贝尔公式]]和[[纳皮尔公式]]等。

== 概述 ==
[[File:TrigonometryTriangle.svg|thumb|245px|在这个直角三角形当中：{{nowrap|1= sin ''A'' = ''a''/''c'';}} {{nowrap|1= cos ''A'' = ''b''/''c'';}} {{nowrap|1= tan ''A'' = ''a''/''b''}}。]]
如果三角形的一个[[角]]为90度，而另一个角的度数已知，那么第三个角的度数也就固定下来了，这是因为任何一个三角形三个角的度数之和总是180度。这样，两个锐角的度数之和为90度：它们互为[[余角]]。这样的三角形[[形狀]]已经完全确定下来，它们是一组度数相同的[[相似]]三角形。在度数确定的情况下，每个边之间的[[比例]]也就随之确定，无论三角形大小。如果其中一个边的长度又为已知的话，那么其他两条边的长度也就确定。这些比例以<math>\angle A</math>的[[三角函数]]形式表示出来，其中<math>a</math>、<math>b</math>、<math>c</math>分别带指三角形中对应三边的长度：

*'''[[正弦]]'''函数（<math>\sin</math>），定义为该角的[[对边]]与[[斜邊]]的比例。

::<math>\sin A=\frac{\text{對 邊 }}{\text{斜 邊 }}=\frac{a}{c}</math>

*'''[[余弦]]'''函数（<math>\cos</math>），定义为该角的[[邻边]]与斜边的比例。

::<math>\cos A=\frac{\text{鄰 邊 }}{\text{斜 邊 }}=\frac{b}{c}</math>

*'''[[正切]]'''函数（<math>\tan</math>），定义为该角的对边与邻边的比例。

::<math>\tan A=\frac{\text{對 邊 }}{\text{鄰 邊 }}=\frac{a}{b}=\frac{\sin A}{\cos A}</math>

其中，'''斜边'''是指直角三角形中90度角所对的边；它是该三角形中最长的边，也是角A的一个邻边。'''对边'''是角A所对的一条边。

这些函数的[[倒数]]分别被称为'''余割'''（<math>\csc</math>或cosec）、'''正割'''（<math>\sec</math>）和'''余切'''（<math>\cot</math>）：
:<math>\csc A=\frac{1}{\sin A}=\frac{c}{a} ,</math>
:<math>\sec A=\frac{1}{\cos A}=\frac{c}{b} ,</math>
:<math>\cot A=\frac{1}{\tan A}=\frac{\cos A}{\sin A}=\frac{b}{a} .</math>

它们的[[反三角函数]]分别为'''arcsine'''、'''arccosine'''和'''arctangent'''。这些函数之间存在的数学关系被称为[[三角恒等式]]。

通过使用这些函数，可以回答有关[[任意三角形]]的所有问题，只需使用[[正弦定理]]和[[余弦定理]]。在已知两条边长以及它们夹角的度数，或是两个角的度数以及一条边长，或是知道三边长度后，使用这些法则可以计算出其他角和边。

=== 定义的扩展 ===
[[File:Euler's_formula.svg|right|thumb|240px|图1a – 使用单位圆对于角θ的正弦和余弦进行定义。]]

上面的定义只是用于度数在0°到90°之间的角（0到<math>\frac{\pi}{2}</math>[[弧度]]）。使用[[单位圆]]，可以将它们扩展到所有度数为正、负的角上（参见[[三角函数]]）。三角函数为[[周期函数]]，周期为360°（<math>2\pi</math>个弧度）。这意味着在这个区间内，它们的值会反复出现。正切和余切函数周期较短，为180°（<math>\pi</math>个弧度）。

三角函数还可以使用非上述集合定义来描述，如使用[[微积分]]和[[無窮級數]]。采取这种定义，三角函数可以扩展到[[复数_(数学)|复数]]。其中，复数指数函数十分有用。 

: <math>e^{x+iy} = e^x(\cos  y + i \sin  y).</math>

参见[[欧拉公式]]和[[棣莫弗公式]]。 

<gallery>
File:Sine curve drawing animation.gif|使用单位圆绘制<math>y=\sin x</math>的过程。
File:Tan drawing process.gif|使用单位圆绘制<math>y=\tan x</math>的过程。
File:Csc drawing process.gif|使用单位圆绘制<math>y=\csc x</math>的过程。
</gallery>

== 计算 ==
三角函数是最早使用[[数学用表]]的。这样的数学用表被纳入数学课本中，供学生查询数值和使用[[插值]]法得到更高精确度。[[计算尺]]在三角函数中有着特别的计量。如今的[[科学计算器]]已经配备有计算主要三角函数的功能，大多数电脑[[编程语言]]也提供函数库来计算三角函数。

== 常用公式 ==
{{main|三角恒等式}}
[[File:Triangle ABC with Sides a b c.png|thumb|240px|left|三角形的三边a、b、c，以及它们的对角A、B、C。]]

一些有关三角函数的恒等式对于所有角都始终成立，被称为[[三角恒等式]]。有一些恒等式是对于同一角的不同三角函数间的转换。

=== 标准恒等式 ===
[[恒等式]]是指那些无论给定值为多少都始终成立的等式。在三角函数中存在如下恒等关系：

:<math>\sin^2 A + \cos^2 A = 1 </math> --- (1)
:<math>\tan^2 A + 1 = \sec^2 A </math> --- (2)
:<math>1 + \cot^2 A = \csc^2 A </math> --- (3)

=== 正弦定理 ===

对于任意三角形的'''[[正弦定理]]'''（又被称为“正弦法则”）公式如下<ref name="數學">{{cite book
 |title= 數學
 |year= 2006
 |publisher= 清华大学出版社有限公司
 |location= 北京
 |isbn= 7810826751
 |url= http://books.google.com.tw/books?id=Dtst_FmmtSYC
 |access-date= 2013-08-21
 |archive-date= 2014-08-19
 |archive-url= https://web.archive.org/web/20140819040032/http://books.google.com.tw/books?id=Dtst_FmmtSYC
 |dead-url= no
 }}</ref>{{rp|p.110}}： 

:<math>\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R,</math>
其中，R是三角形[[外接圓]]的半径长度：

:<math>R = \frac{abc}{\sqrt{(a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)}}.</math>

另一个有关于正弦的法则可以用来计算三角形的面积。在给定两条边的长度以及它们所夹角的角度，该三角形的面积为：

:<math>\mbox{Area} = \frac{1}{2}a b\sin C.</math>

=== 余弦定理 ===
{{main|余弦定理}}

任意三角形的余弦定理（又被称为余弦方程式、余弦法则），是[[勾股定理]]的一个扩展<ref name="數學"/>{{rp|p.112}} ：

:<math>c^2=a^2+b^2-2ab\cos C ,\,</math>

或者可以写作：

:<math>\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}.\,</math>

=== 正切定理 ===
{{main|正切定理}}

'''[[正切定理]]'''如下：

:<math>\frac{a-b}{a+b}=\frac{\tan\left[\tfrac{1}{2}(A-B)\right]}{\tan\left[\tfrac{1}{2}(A+B)\right]}</math>

=== 欧拉公式 ===
[[欧拉公式]]定义，对于任意的<math>x</math>，都有<math>e^{ix} = \cos x + i \sin x</math>，于是产生了如下的对于[[E_(数学常数)|''e'']]和[[虛數單位]]''i''的[[数学分析]]恒等式：
:<math>\sin x = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}, \qquad \cos x = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}, \qquad \tan x = \frac{i(e^{-ix} - e^{ix})}{e^{ix} + e^{-ix}}.</math>

=== 角度转换公式 ===
角度转换公式也稱為和角公式或是和差公式，是有關二角和或差的三角函數的公式。
:<math>\sin (A \pm B) = \sin A \ \cos B \pm \cos A \ \sin B</math>

:<math>\cos (A \pm B) = \cos A \ \cos B \mp \sin A \ \sin B</math>

:<math>\tan (A \pm B) = \frac{ \tan A \pm \tan B }{ 1 \mp \tan A  \ \tan B}</math>

:<math>\cot (A \pm B) = \frac{ \cot A \ \cot B \mp 1}{ \cot B \pm \cot A } </math>

=== 倍角公式以及半角公式 ===
二倍角公式可以利用二角相等時的和角公式求得。
:<math>\sin 2A = 2 \sin A \ \cos A</math>
:<math>\cos 2A = \cos^2 A - \sin^2 A = 2 \cos^2 A - 1 = 1 - 2 \sin^2 A</math>
:<math>\tan 2A = \frac{2 \tan A }{ 1 - \tan^2 A}</math>
利用和角公式也可以推導三倍角公式、四倍角公式等。

半角公式可以利用餘弦函數的二倍角公式求得。
:<math>\sin \frac{A}{2} = \pm\, \sqrt{\frac{1 - \cos A}{2}}</math>
:<math>\cos \frac{A}{2} = \pm\, \sqrt{\frac{1 + \cos A}{2}}</math>
:<math>\tan \frac{A}{2} = \pm\, \sqrt{1 - \cos A \over 1 + \cos A} = \frac{\sin A}{1 + \cos A} = \frac{1-\cos A}{\sin A} </math>

=== 积化和差以及和差化积 ===
积化和差是將二個正弦及餘弦函數的乘積轉換為另外二個正弦及餘弦函數的和或差，其逆運算即為和差化积。數學家[[弗朗索瓦·韦达|韋達]]在其三角學著作《應用於三角形的數學定律》給出积化和差与和差化积恒等式。积化和差恒等式可以通过展开角的和差恒等式的右手端来证明。

{|
|style="vertical-align:top"|
{|class="wikitable" style="background-color: #FFFFFF"
!积化和差
!和差化积
|-
|<math>\sin A \sin B ={\cos(A-B)-\cos(A+B)\over2}</math>
|<math>\sin A+\sin B =2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}</math>
|-
|<math>\cos A \cos B ={\cos(A-B)+\cos(A+B)\over2}</math>
|<math>\cos A+\cos B =2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}</math>
|-
|<math>\sin A \cos B ={\sin(A+B)+\sin(A-B)\over2}</math>
|<math>\cos A-\cos B =-2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}</math>
|-
|<math>\cos A \sin B ={\sin(A+B)-\sin(A-B)\over2}</math>
|<math>\sin A-\sin B =2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}</math>
|}

== 参考文献 ==
{{Reflist}}

== 注释 ==
{{notefoot}}

== 参見 ==
* [[球面三角學]]
* [[三角函数]]
* [[三角恒等式]]
* [[单位圆]]

== 延伸阅读 ==
* {{cite book |first=Carl B. |last=Boyer|authorlink=Carl Benjamin Boyer|title=A History of Mathematics |url=https://archive.org/details/historyofmathema00boye |edition=Second Edition |publisher=John Wiley & Sons, Inc. |year=1991 |isbn=0-471-54397-7}}
*{{springer|title=Trigonometric functions|id=p/t094210}}
* Christopher M. Linton (2004). From Eudoxus to Einstein: A History of Mathematical Astronomy . Cambridge University Press.
* Weisstein, Eric W. "Trigonometric Addition Formulas". Wolfram MathWorld. Weiner.

== 外部链接 ==
{{Sister project links}}
* [http://www.khanacademy.org/math/trigonometry Khan Academy: Trigonometry, free online micro lectures]{{Wayback|url=http://www.khanacademy.org/math/trigonometry |date=20130310012757 }}
* [https://web.archive.org/web/20040404234808/http://www.pupress.princeton.edu/books/maor/ Trigonometric Delights], by [[Eli Maor]], Princeton University Press, 1998.  Ebook version, in PDF format, full text presented.
* [https://web.archive.org/web/20071104225720/http://baqaqi.chi.il.us/buecher/mathematics/trigonometry/index.html Trigonometry] by Alfred Monroe Kenyon and Louis Ingold, The Macmillan Company, 1914. In images, full text presented.
* [https://web.archive.org/web/20070930031406/http://mathdl.maa.org/convergence/1/?pa=content&sa=viewDocument&nodeId=212&bodyId=81 Benjamin Banneker's Trigonometry Puzzle] at [https://web.archive.org/web/20070713083148/http://mathdl.maa.org/convergence/1/ Convergence]
* [http://www.clarku.edu/~djoyce/trig/ Dave's Short Course in Trigonometry]{{Wayback|url=http://www.clarku.edu/~djoyce/trig/ |date=20080615133310 }} by David Joyce of [[Clark University]]
*[http://www.mecmath.net/trig/trigbook.pdf Trigonometry, by Michael Corral, Covers elementary trigonometry, Distributed under GNU Free Documentation License]{{Wayback|url=http://www.mecmath.net/trig/trigbook.pdf |date=20130729114530 }}

{{-}}
{{数学主要领域}}

[[Category:三角学| ]]
[[分类:数学分支]]