此條目介紹的是数学上的区间概念。关于铁路运输的区间概念,请见「
闭塞 (铁路)」。
在圖中的數軸上,所有大于x和小于x+a的数组成了一个开区间。
區間(英語:interval)在數學上是指某個範圍的數的集合,或者更一般地是指某个范围的预序集元素的集合,一般以集合形式表示。
在初等代數,傳統上區間指一個集,包含在某兩個特定實數之間的所有實數,亦可能包含該兩個實數(或其中之一)。區間表示法是表示一個變數在某個區間內的方式。通用的區間表示法中,圓括號表示排除,方括號表示包括。例如,開區間
表示所有在
和
之間的實數,但不包括
或
。另一方面,閉區間
表示所有在
和
之間的實數,以及
和
。[1]
在赋予通常序的实数集
里,以
为端点的开区间和闭区间分别是:
![{\displaystyle (a,b)=\{x\in \mathbb {R} \colon a<x<b\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ede13556abc7380ae7ff793caf596757bb1dea9)
![{\displaystyle [a,b]=\{x\in \mathbb {R} \colon a\leq x\leq b\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8c383da36732b5465a962646777e1df581e5d52)
类似地,以
为端点的两个半开区间定义为:
![{\displaystyle (a,b]=\{x\in \mathbb {R} \colon a<x\leq b\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ac6a7d10410e78402279912c4472921cad0be64)
![{\displaystyle [a,b)=\{x\in \mathbb {R} \colon a\leq x<b\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d8a7f6fb708bc50cb947d159c0726ae52d76927)
在一些上下文中,两个端点要求满足
。这排除了
从而区间或是单元素集合或是空集的情形,也排除了
从而区间为空集的情形。
只有左端点
的开区间和半开区间分别如下。
![{\displaystyle (a,\infty )=\{x\in \mathbb {R} \colon x>a\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1550169e2f39f579621544f6926ca13419de0ee0)
![{\displaystyle [a,\infty )=\{x\in \mathbb {R} \colon x\geq a\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/027c8e66bc7846b296c5fdd7d9037c1a8a54d243)
只有右端点
的开区间和半开区间分别如下。
![{\displaystyle (-\infty ,b)=\{x\in \mathbb {R} \colon x<b\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f578716bc168e4f22ac03355d2590dd649691d7b)
![{\displaystyle (-\infty ,b]=\{x\in \mathbb {R} \colon x\leq b\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f4e7ab6336f5e7616cdd7218d3aeace33a41cc4)
整个实数线等于没有端点的区间:
![{\displaystyle (-\infty ,\infty )=\mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e3d9463863b5eb37d7b74ae2f81e815fc2bd6d6)
区间的概念在任何偏序集或者更一般地,在任何预序集中有定义。对于预序集
和两个元素
,我们可以类似定义[2]:11, Definition 11
![{\displaystyle (a,b)=\{x\in X\colon a<x<b\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43fc8c916d0fc77beb73fd926ee4bb4fff88878a)
![{\displaystyle [a,b]=\{x\in X\colon a\lesssim x\lesssim b\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf1b91d4e0efd987fb45e4de370662d066493f63)
![{\displaystyle (a,b]=\{x\in X\colon a<x\lesssim b\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c65294a9d7cd6a779496abf27cf02d0d1c1b5668)
![{\displaystyle [a,b)=\{x\in X\colon a\lesssim x<b\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70fe2dadf1e99e126dcd1e55265dbb26e371ecfa)
![{\displaystyle (a,\infty )=\{x\in X\colon a<x\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e363dd91c26650c62f7244bc2a3fe545757e14e6)
![{\displaystyle [a,\infty )=\{x\in X\colon a\lesssim x\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21aa08dcd54d7debf708894c16f3a7d1983f7998)
![{\displaystyle (-\infty ,b)=\{x\in X\colon x<b\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/992a1dc19b4fd63752ec0db4de10e13e2d636009)
![{\displaystyle (-\infty ,b]=\{x\in X\colon x\lesssim b\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aac1feb3c6cb6fba7d13cdd4faadf6cc95f62b64)
![{\displaystyle (-\infty ,\infty )=X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d506ef89d04b1a1b10df4a5570be99b682a7f70c)
其中
意思是
。其实,只有一个端点或者没有端点的区间等同于更大的预序集
![{\displaystyle {\bar {X}}=X\sqcup \{-\infty ,\infty \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b59614cc64fae001fa1ed13c404627563c5d2879)
![{\displaystyle -\infty <x<\infty \qquad (\forall x\in X)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ed45a50c51386e2e1e75d357af4f17cd4901ebe)
上具有两个端点的区间,使得它是
的子集。当
时,可以取
为扩展实数线。
预序集
的子集
是序凸集,如果对于任意
以及任意
有
。与实区间的情形不同,预序集的序凸集不一定是区间。例如,在有理数的全序集
中,
![{\displaystyle \mathbb {Q} =\{x\in \mathbb {Q} \colon x^{2}<2\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/565035171801c8c89e9a8fd52b1d31c88aebd0c3)
是序凸集,但它不是
的区间,这是因为2的平方根在
中是不存在的。
设
是一个预序集,且
。包含在
中的
的序凸集关于包含关系构成偏序集。这个偏序集的极大元叫做
的序凸分支。[3]:Definition 5.1由佐恩引理,包含在
中的
的任意序凸集包含于
的一个序凸分支,然而这种序凸分支不一定是唯一的。在全序集中,这样的序凸分支确实唯一。也就是说,全序集的子集的序凸分支构成分划。
區間算術又稱區間數學、區間分析、區間計算,在1950、60年代引進以作數值分析上計算捨去誤差的工具。
屬於
的某些
,及屬於
的某些
,使得![{\displaystyle x=y\times z\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11162d5ed20a5e35c46f2e59b2050bd289ab2c2c)
區間算術的基本運算是,對於實數線上的子集
及
:
![{\displaystyle [a,b]+[c,d]=[a+c,b+d]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fee8c5524fea89636103ea04d2271d03fdb2c888)
![{\displaystyle [a,b]-[c,d]=[a-d,b-c]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d65fdee1ba80f2fa2179a29b5938439a15f9f96)
![{\displaystyle [a,b]\times [c,d]=[\min\{ac,ad,bc,bd\},\max\{ac,ad,bc,bd\}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b334cf018eb4ccf7dcc69bb1fefa02bf878ad27f)
![{\displaystyle {\frac {[a,b]}{[c,d]}}=\left[\min \left\{{\frac {a}{c}},{\frac {a}{d}},{\frac {b}{c}},{\frac {b}{d}}\right\},\max \left\{{\frac {a}{c}},{\frac {a}{d}},{\frac {b}{c}},{\frac {b}{d}}\right\}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd76a518c678329260f7626ced401e84cce0feed)
被一個包含零的區間除,在基礎區間算術上無定義。
加法和乘法符合交換律、結合律和子分配律:集
是
的子集。
在法国及其他一些欧洲国家,用
代替
來表示开区间,例如:
![{\displaystyle \left]a,b\right[=\{x\mid a<x<b\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1f5b58075e37eab0c81a7e8974553b5d32ae189)
![{\displaystyle \left[a,b\right]=\{x\mid a\leq x\leq b\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e3541db101303e3fe316f0cfb6aed0024010374)
![{\displaystyle \left[a,b\right[=\{x\mid a\leq x<b\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c41672bcc810d0c6045512c30583238d94ae6c2e)
![{\displaystyle \left]a,b\right]=\{x\mid a<x\leq b\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f86c9f682967e3dd77e6d2e094308771219280a0)
國際標準化組織編制的ISO 31-11也允許這種寫法[4]。
另外,在小數點以逗號來表示的情況下,為免產生混淆,分隔兩數的逗號要用分號來代替,例如將
寫成
。若只把小數點寫成逗號,就會變成
,此時不易判斷究竟是
與
之間,還是
與
之間的閉區間。
- ^ Interval and segment - Encyclopedia of Mathematics. encyclopediaofmath.org. Springer & The European Mathematical Society. [2021-05-18]. (原始内容存档于2014-12-26).
- ^ Vind, Karl. Independence, additivity, uncertainty. Studies in Economic Theory 14. Berlin: Springer. 2003. ISBN 978-3-540-41683-8. Zbl 1080.91001. doi:10.1007/978-3-540-24757-9 (英语).
- ^ Heath, R. W.; Lutzer, David J.; Zenor, P. L. Monotonically normal spaces. Transactions of the American Mathematical Society. 1973, 178: 481–493. ISSN 0002-9947. MR 0372826. Zbl 0269.54009. doi:10.2307/1996713 (英语).
- ^ ISO 31-11:1992. ISO. [2021-05-18]. (原始内容存档于2021-05-18) (英语).