在数学中,特别是测度论中,外测度是一个定义在给定集合上的扩展实数值的函数,并满足几条附加条件。一般的外测度理论由C. Carathéodory引进,目的是给可测集和可数可加测度的理论建立基础。C. Carathéodory关于外测度上所做的工作应用于测度理论中的集合论上(例如外测度用于证明Carathéodory扩张定理)。豪斯多夫也用此来定义一个类似维数的度量,现在称为豪斯多夫维数。
从长度,面积及体积归纳出來的测度概念,对于很多抽象不规则的集合是很有用的。我们希望定义一个广义的测度函数
,使其滿足以下4个条件:
- 任意实数区间
有测度
;
- 測度函數
是非負扩展实数值函數,定义在
的所有子集合上;
- 平移不变性:任给集合
和实数
,
与
有相同的测度(这里,
);
- 可数可加律:对
的任意的两两无交的子集序列
,有:
。
事实上,这几条要求是不相容的。这样的測度函數
不能定义在
的所有子集上,也就是说,不可测集是存在的。构造外测度的目的就是选出那些可测集合,使得可数可加性得到满足。
外測度是从
的冪集合映到
的函數
![{\displaystyle \varphi :2^{X}\rightarrow [0,\infty ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5529a2dd2375627adeeb522966966d7bd380a785)
且滿足以下條件:
![{\displaystyle \varphi (\varnothing )=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84a9d2472389060e8c0ead7bd40e211333ee62a8)
![{\displaystyle A\subseteq B\Rightarrow \varphi (A)\leq \varphi (B)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/053416a88311ce317cb5940ae09b5d8b54614006)
- 次可加性: 对 X 的任意子集序列
(不管兩兩交集是否空集合)
![{\displaystyle \varphi \left(\bigcup _{j=1}^{\infty }A_{j}\right)\leq \sum _{j=1}^{\infty }\varphi (A_{j})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/454ea0c1a214b5eca2cab910dc7c2226f263d451)
接著可以借由外測度來定义 X 中的可測集合:子集合
是
-可测的,当且仅当对
的任意子集合
有:
![{\displaystyle \varphi (A)=\varphi (A\cap E)+\varphi (A\cap E^{c}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/168e10524a860f67ed1158bf33ced68014d9a393)
所有的
-可测集合构成了一个
-代数 ,且如果
限制在我們剛定義的可测集合上時,
會有可数可加的完备测度性質。这个方法是Carathéodory构造出来的,是构造勒贝格测度和积分理论的重要方法。
假設
是一個度量空間且
是一個在
之上的外測度。若
有以下性質 :
只要
![{\displaystyle d(E,F)=\inf\{d(x,y):x\in E,y\in F\}>0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1469bca05e675ccb2efd3b9294c984eba09e99ca)
就有
![{\displaystyle \varphi (E\cup F)=\varphi (E)+\varphi (F)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed96f2ff6bdc99f6ca82e9c54390936e03c52d44)
那么称
是一个度量外测度。
如果
是
上的度量外测度,那么
的每个Borel子集都是
-可测的。
外測度的构造[编辑]
有几种方法来构造一个集合上的外测度。下面两种是特别有用的。
令
为一集合,
是
的包含空集的子集族,
是
上的非负扩展实数值函数,且
在空集处取零。
那么定义
![{\displaystyle \varphi (E)=\inf {\biggl \{}\sum _{i=0}^{\infty }p(A_{i})\,{\bigg |}\,E\subseteq \bigcup _{i=0}^{\infty }A_{i},\forall i\in \mathbb {N} ,A_{i}\in C{\biggr \}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0529438ab1d4192f1fa0fd7ec8824eaa3544b638)
则
是一个外测度。
另一种方法在度量空间上更有效,因为它直接得到了度量外测度。设
是一个度量空间,
是
的包含空集的子集族,
是
上的非负扩展实数值函数,且
在空集处取零。那么,对任意
,令
![{\displaystyle C_{\delta }=\{A\in C:\operatorname {diam} (A)\leq \delta \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1098809a8041669d607e0db3b98400800424921f)
及
![{\displaystyle \varphi _{\delta }(E)=\inf {\biggl \{}\sum _{i=0}^{\infty }p(A_{i})\,{\bigg |}\,E\subseteq \bigcup _{i=0}^{\infty }A_{i},\forall i\in \mathbb {N} ,A_{i}\in C_{\delta }{\biggr \}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/203dee919617e13b3b46f09fc80fbfeb135a55f2)
对
有
成立,因为
减小时,下确界是在更小的集合上取得的。所以
![{\displaystyle \lim _{\delta \rightarrow 0}\varphi _{\delta }(E)=\varphi _{0}(E)\in [0,\infty ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62bcaa6ea79a669c2851fd057a9a716d76193a40)
存在(可能是无穷大)。
这样构造的
是一个度量外测度。这个构造也就是定义豪斯多夫维数时用的外测度。
- P. Halmos, Measure theory, D. van Nostrand and Co., 1950
- M. E. Munroe, Introduction to Measure and Integration, Addison Wesley, 1953