科林·麦克劳林是欧拉-麦克劳林求和公式的提出者之一
莱昂哈德·欧拉是欧拉-麦克劳林求和公式的提出者之一
欧拉-麦克劳林求和公式在1735年由莱昂哈德·欧拉与科林·麦克劳林分别独立发现,该公式提供了一个联系积分与求和的方法,由此可以导出一些渐进展开式。
[1]
设
为一至少
阶可微的函数,
,则
其中
表示
的阶乘
表示
的
阶导函数
,其中
表示第
个伯努利多项式
- 伯努利多项式是满足以下条件的多项式序列:
![{\displaystyle {\begin{cases}B_{0}(x)\equiv 1\\B'_{r}(x)\equiv rB_{r-1}(x)\quad (r\geq 1)\\\int _{0}^{1}B_{r}(x)\,\mathrm {d} x=0\quad (r\geq 1)\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59d89dda36dbd9c24e64cbdec639a8ccfb0bf542)
表示
的小数部分
为第
个伯努利数
证明使用数学归纳法以及黎曼-斯蒂尔杰斯积分,下文中假设
的可微次数足够大,
。
为了方便,将原式的各项用不同颜色表示:
容易算出
![{\displaystyle {\bar {B}}_{1}(t)={\color {Purple}\left\langle t\right\rangle -{\frac {1}{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f4dce1a241408c8939c5e016e15fd5ce2bb27f4)
其中橙色的项通过分部积分可化为
得到想要的结果。
欧拉-麦克劳林求和公式的精确度通常不一定随着
的增加而增加,相反地,如果
相当大,则积分项也会很大。右图是在计算调和级数的前100项时用Mathematica算出不同的
对应的积分项的绝对值:
计算调和级数时的误差项
通过欧拉-麦克劳林求和公式可以给出黎曼ζ函数的渐进式:[2]
![{\displaystyle {\begin{aligned}\zeta (s)&=\sum _{n=1}^{N-1}n^{-s}+{\frac {N^{1-s}}{s-1}}+{\frac {1}{2}}N^{-s}\\&\quad +{\frac {B_{2}}{2}}sN^{-s-1}+...+{\frac {B_{2\nu }}{(2\nu )!}}s(s+1)...(s+2\nu -2)N^{(-s-2\nu +1)}+R_{2\nu }\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b98a7a95e97fb9d4ac4fdc0fd1e40a569a570e21)
其中
欧拉-麦克劳林求和公式有时也被写成如下形式:[3]
![{\displaystyle \sum _{y<n\leq x}f(n)=\int _{y}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t+\int _{y}^{x}(t-\left\lfloor t\right\rfloor )f'(t)\,\mathrm {d} t+f(x)(\left\lfloor x\right\rfloor -x)-f(y)(\left\lfloor y\right\rfloor -y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8cc2c5a0253cba4ecf21e34836dd24c9b196c05)
这是欧拉给出的原始形式。