蒙日圆

法國數學家加斯帕爾·蒙日發現：與橢圓${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$相切的兩條垂直切線的交點的軌跡方程是$x^{2}+y^{2}=a^{2}+b^{2}$。这一结论被称为蒙日圆。

證明

設$F_{1},F_{2}$分別為橢圓的左右焦點，焦距為$c$。設點$M,N$分別為點$F_{1}$關於$PA$，$F_{2}$關於$PB$的對稱點。由橢圓的光學性質知$F_{2}$，$A$，$M$及$F_{1}$，$B$，$N$分別三點共線，由橢圓定義有$MF_{2}=NF_{1}=2a$。設$F_{1}M$交直線$PA$于點$Q$，$F_{2}N$交直線$PB$於點$S$，分別延長$MF_{1}$，$NF_{2}$交於點$R$，則$OQ={\frac {1}{2}}MF_{2}={\frac {1}{2}}NF_{1}=OS=a$，$OR={\frac {1}{2}}F_{1}F_{2}=c$。在矩形$PQRS$中，由平面幾何知識易知$OP^{2}+OR^{2}=OQ^{2}+OS^{2}$，於是$OP^{2}=OQ^{2}+OS^{2}-OR^{2}=a^{2}+b^{2}$。

在雙曲線中的結論

與雙曲線${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1(a>b>0)$相切的兩條垂直切線的交點的軌跡方程是$x^{2}+y^{2}=a^{2}-b^{2}$。

在拋物線中的結論

與拋物線$y^{2}=2px(p>0)$相切的兩條垂直切線的交點的軌跡方程是$x=-{\frac {p}{2}}$(可以看成是半徑無窮大的圓)。