环的谱

在抽象代数学，交换代数和代数几何学中，一个交换环 $A$ 的谱是指其素理想全体形成的集合，记作 $\mathrm {Spec} (A)$ 。它被赋予扎里斯基拓扑和结构层，从而成为局部赋环空间。

一个局部赋环空间若同构于一个交换环谱，即称为仿射概形。

扎里斯基拓扑[编辑]

对于交换环 $A$ 里的任一理想 ${\mathfrak {a}}$ ，置 $V({\mathfrak {a}}):=\{{\mathfrak {p}}\in \mathrm {Spec} (A):{\mathfrak {p}}\supset {\mathfrak {a}}\}$ 。容易证明下述性质：

$V({\mathfrak {ab}})=V({\mathfrak {a}})\cup V({\mathfrak {b}})$
$V(\sum _{i}{\mathfrak {a}}_{i})=\bigcap _{i}V({\mathfrak {a}}_{i})$
$V({\mathfrak {a}})\subset V({\mathfrak {b}})$ 当且仅当 ${\sqrt {\mathfrak {a}}}\supset {\sqrt {\mathfrak {b}}}$

因此我们可以在 $Spec(A)$ 上定义一个拓扑结构，使得其闭子集恰为形如 $V({\mathfrak {a}})$ 的子集，称之扎里斯基拓扑。

一般而言，扎里斯基拓扑并不满足豪斯多夫性质。

结构层[编辑]

考虑扎里斯基拓扑下的下述预层：

${\mathcal {O}}_{0,A}:U\mapsto \varprojlim _{{\mathfrak {p}}\in U}A_{\mathfrak {p}}$

令 ${\mathcal {O}}_{A}$ 为其层化，称作 $\mathrm {Spec} (A)$ 的结构层。显然有 ${\mathcal {O}}_{A,{\mathfrak {p}}}=A_{\mathfrak {p}}$ ，故 $(\mathrm {Spec} (A),{\mathcal {O}})$ 构成一个局部赋环空间。

一个元素 $a\in A$ 给出 ${\mathcal {O}}_{A}$ 的截面，事实上可以证明 $\Gamma (\mathrm {Spec} (A),{\mathcal {O}}_{A})=A$ 。

交换环谱间的态射[编辑]

设 $A,B$ 为交换环， $\phi :A\rightarrow B$ 为一同态，则可定义一个映射 $f({\mathfrak {p}})=\phi ^{-1}({\mathfrak {p}})$ ，这是从 $\mathrm {Spec} (B)$ 到 $\mathrm {Spec} (A)$ 的连续映射，在结构层上则以 $a\mapsto \phi (b)$ 定义 $f^{\sharp }:{\mathcal {O}}_{A}\rightarrow f_{*}{\mathcal {O}}_{B}$ ，那么 $(f,f^{\sharp })$ 给出局部赋环空间的态射。

反之，任何仿射概形间的态射皆由此唯一地给出。上述对应遂建立起交换环的反范畴与仿射概形范畴的等价性。

古典观点[编辑]

令 $k$ 为代数封闭域，给定 $f_{i}\in k[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ （i=1,2,...），则方程组 $f_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n})=0$ 定义一个代数簇 $X\subset \mathbb {A} _{k}^{n}$ 。

设 ${\mathfrak {a}}:=(f_{1},\ldots ,f_{n})\subset k[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ， $A:=\mathrm {k[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}}$ 。根据希尔伯特零点定理， $X$ 的点一一对应到 $A$ 的极大理想。