在抽象代數學,交換代數和代數幾何學中,一個交換環
的譜是指其素理想全體形成的集合,記作
。它被賦予扎里斯基拓撲和結構層,從而成爲局部賦環空間。
一個局部賦環空間若同構於一個交換環譜,即稱爲仿射概形。
對於交換環
裡的任一理想
,置
。容易證明下述性質:
![{\displaystyle V({\mathfrak {ab}})=V({\mathfrak {a}})\cup V({\mathfrak {b}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66d48f0fba21f121237de25c7b140ad79a1f91c6)
![{\displaystyle V(\sum _{i}{\mathfrak {a}}_{i})=\bigcap _{i}V({\mathfrak {a}}_{i})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b39106412293ffb1a6f464d096a5b8de9b26711b)
若且唯若![{\displaystyle {\sqrt {\mathfrak {a}}}\supset {\sqrt {\mathfrak {b}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a25d902a87f4f79af69d893cbbb8b4b497f5fa25)
因此我們可以在
上定義一個拓撲結構,使得其閉子集恰為形如
的子集,稱之扎里斯基拓撲。
一般而言,扎里斯基拓撲並不滿足豪斯多夫性質。
考慮扎里斯基拓撲下的下述預層:
令
為其層化,稱作
的結構層。顯然有
,故
構成一個局部賦環空間。
一個元素
給出
的截面,事實上可以證明
。
設
為交換環,
為一同態,則可定義一個映射
,這是從
到
的連續映射,在結構層上則以
定義
,那麼
給出局部賦環空間的態射。
反之,任何仿射概形間的態射皆由此唯一地給出。上述對應遂建立起交換環的反範疇與仿射概形範疇的等價性。
令
為代數封閉域,給定
(i=1,2,...),則方程組
定義一個代數簇
。
設
,
。根據希爾伯特零點定理,
的點一一對應到
的極大理想。
一般而言,
內的元素一一對應到
內的不可約閉集。考慮全體素理想的好處之一,在於可以藉此在概形上運用安德烈·韋伊的一般點(generic point)理論;此外,環同態不一定將極大理想拉回到極大理想,除非該環是 Jacobson 環。
的拓撲結構僅涉及
。
裡的冪零元素看似無幾何意義,但它們在研究無窮小變化及態射的纖維上功效至大。