加倍空间

数学上，一个带有度量d的度量空间X称为加倍空间，若存在常数M > 0，使得对X中任何点x和任何r > 0，中心为x，半径为r的球B(x, r) = {y:|d(x, y) < r}，可以用不多于M个半径为r / 2 的球覆盖。欧氏空间ℝ^d赋以通常的欧氏度量是加倍空间，其加倍常数M取决于维数d。

Assouad嵌入定理

度量几何中一个重要问题，是描述哪些度量空间可以用双利普希茨映射嵌入到欧氏空间中。如此的度量空间本质上可视为欧氏空间的子集。并非所有度量空间都能嵌入到欧氏空间。加倍空间较可能嵌入得到，因为这些空间的加倍条件大概表示空间不是无限维。但是加倍空间并不都能嵌入到 欧氏空间中。带有Carnot度量的海森伯群是加倍空间，但不能嵌入到任何欧氏空间中。.

Assouad定理说，对一个M-加倍度量空间X，及任何0 < ε < 1，若赋予X度量d(x, y)^ε ，则有一个L-双利普希茨映射f:X → ℝ^d，其中d和L依赖于 M和ε。

加倍测度

定义

度量空间X上的一个测度称为加倍测度，如果任一个球的测度，和两倍大的球的测度差不多。确切来说，如果存在常数C > 0，使得对X中任何x和任何r > 0，有

$\mu (B(x,2r))\leq C\mu (B(x,r))\,$

此时称μ是C-加倍的。

一个存在加倍测度的度量空间，必定是一个加倍空间，其加倍常数依赖于常数C。

相反地，任何完备加倍度量空间都有加倍测度。

例子

一个简单例子是欧氏空间上的勒贝格测度。不过欧氏空间上也有相对于勒贝格测度是奇异的加倍测度。在实数线上的一个例子，是以下测度列的弱极限：

$d\mu _{n}=\prod _{i=1}^{n}(1+a\cos(3^{i}2\pi x))\,dx,\;\;\;|a|<1.$

另外，区间[0, 1]上可以构造一个加倍奇异测度如下：对每个k ≥ 0，划分单位区间[0,1]为3^k个长度3^−k的区间。设Δ为对每个k得到的所有这些区间的集合。对其中每个区间I，将I中间三分之一的区间记为m(I)。选定0 < δ < 1，设μ为测度，使得μ([0, 1]) = 1，并对Δ中的每个区间I，有μ(m(I)) = δμ(I)。这个在[0, 1]上的测度μ，相对于勒贝格测度是奇异的。

应用

加倍测度的定义看似随意，或似乎纯粹与几何有关。不过古典调和分析中的很多结果，都可以推广到有加倍测度的度量空间中。