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加倍空間

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數學上,一個帶有度量d度量空間X稱為加倍空間,若存在常數M > 0,使得對X中任何點x和任何r > 0,中心為x,半徑為r的球B(xr) = {y:|d(x, y)r},可以用不多於M個半徑為r / 2 的球覆蓋。[1]歐氏空間d賦以通常的歐氏度量是加倍空間,其加倍常數M取決於維數d


Assouad嵌入定理

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度量幾何中一個重要問題,是描述哪些度量空間可以用雙利普希茨映射嵌入到歐氏空間中。如此的度量空間本質上可視為歐氏空間的子集。並非所有度量空間都能嵌入到歐氏空間。加倍空間較可能嵌入得到,因為這些空間的加倍條件大概表示空間不是無限維。但是加倍空間並不都能嵌入到 歐氏空間中。帶有Carnot度量海森伯群是加倍空間,但不能嵌入到任何歐氏空間中。.[2]

Assouad定理說,對一個M-加倍度量空間X,及任何0 < ε < 1,若賦予X度量d(xy)ε ,則有一個L-雙利普希茨映射f:X → d,其中dL依賴於 Mε

加倍測度

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定義

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度量空間X上的一個測度稱為加倍測度,如果任一個球的測度,和兩倍大的球的測度差不多。確切來說,如果存在常數C > 0,使得對X中任何x和任何r > 0,有

此時稱μC-加倍的。

一個存在加倍測度的度量空間,必定是一個加倍空間,其加倍常數依賴於常數C

相反地,任何完備加倍度量空間都有加倍測度。[3]

例子

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一個簡單例子是歐氏空間上的勒貝格測度。不過歐氏空間上也有相對於勒貝格測度是奇異的加倍測度。在實數線上的一個例子,是以下測度列的弱極限[4]

另外,區間[0, 1]上可以構造一個加倍奇異測度如下:對每個k ≥ 0,劃分單位區間[0,1]為3k個長度3k的區間。設Δ為對每個k得到的所有這些區間的集合。對其中每個區間I,將I中間三分之一的區間記為m(I)。選定0 < δ < 1,設μ為測度,使得μ([0, 1]) = 1,並對Δ中的每個區間I,有μ(m(I)) = δμ(I)。這個在[0, 1]上的測度μ,相對於勒貝格測度是奇異的。[5]

應用

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加倍測度的定義看似隨意,或似乎純粹與幾何有關。不過古典調和分析中的很多結果,都可以推廣到有加倍測度的度量空間中。

參考

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  1. ^ Heinonen, Juha. Lectures on Analysis on Metric Spaces. Universitext. New York: Springer-Verlag. 2001: x+140. ISBN 0-387-95104-0. 
  2. ^ Pansu, Pierre. Métriques de Carnot-Carathéodory et quasiisométries des espaces symétriques de rang un. Ann. of Math. (2). 1989, 129 (1): 1–60. 
  3. ^ Luukainen, Jouni; Saksman, Eero. Every complete doubling metric space carries a doubling measure. Proc. Amer. Math. Soc. 1998, 126 (2): 531–534. 
  4. ^ Zygmund, A. Trigonometric Series. Vol. I,II. Cambridge Mathematical Library 3rd ed. Cambridge University Press. 2002: xii; Vol. I: xiv+383 pp.; Vol. II: viii+364. ISBN 0-521-89053-5. 
  5. ^ Kahane, J.-P. Trois notes sur les ensembles parfaits linéaires. Enseignement Math. (2). 1969, 15: 185–192.