后继序数

定义序数时，后继函数$S$是取得下一个序数的数学工具。如果使用冯·诺伊曼序数（用于集合论的标准序数）表示，对于任何一个序数我们可以得到：

$S(\alpha )=\alpha \cup \{\alpha \}$

因为在序数上的排序$\alpha >\beta$当且仅当$\alpha \in \beta$，立即得出没有序数在$\alpha$和$S(\alpha )$之间，而$\alpha <S(\alpha )$也是明显的。是某个序数$\beta$的$S(\beta )$的序数叫做后继序数。不是其它哪个序数的后继的序数，我们把它们叫做极限序数。严格地按照超限归纳法，我们可以用这样的运算定义序数如下：

$\alpha +0=\alpha$

$\alpha +S(\beta )=S(\alpha +\beta )$

对于极限序数$\lambda$：

$\alpha +\lambda =\bigcup _{\beta <\lambda }(\alpha +\beta )$

在特殊情况下，$S(\alpha )=\alpha +1$，乘和幂的定义也是一样的，请参见极限序数。