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哈代-李特尔伍德极大函数

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数学上,一个局部可积函数哈代-李特尔伍德(Hardy–Littlewood)极大函数在一点的值,是所有以该点为中心的上函数的平均值上确界

定义

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对一个在上定义的局部可积函数f,可定义其哈代-李特尔伍德极大函数Mf如下

Mf(x)可能是。) 其中m上的勒贝格测度

性质

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Mf(x)是下半连续函数

证明

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对任何,可假设Mf(x) > 0。(否则几乎处处f=0)

任意取0 < c < Mf(x)。从Mf定义知存在r > 0使得

存在使得。 对任何,有 所以

因此Mf是下半连续。

哈代-李特尔伍德极大不等式

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可积函数,对任何常数,有不等式

证明

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对每个在集合内的点x,都有,使得

K内的紧集K的一个开覆盖。因K紧致,存在有限子覆盖。(

维塔利覆盖引理,这有限子覆盖中存在子集,当中的开球两两不交,而且将这些开球的半径增至三倍后可以覆盖K。于是

上式第四行的不等式使用了开球两两不交性质。从勒贝格测度的内正则性,集合的测度等于在其内的所有紧集的测度的上确界,故有

应用

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哈代-李特尔伍德极大不等式可以用来证明勒贝格微分定理

参考

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  • Rudin, Walter (1987), Real and complex analysis, International Series in Pure and Applied Mathematics (3rd ed.), McGraw-Hill.