对角优势矩阵

对角占优矩阵是指一矩阵的每一横行，对角线上元素的大小大于或等于同一横行其他元素大小的和，一矩阵A为对角占优矩阵若

$|a_{ii}|\geq \sum _{j\neq i}|a_{ij}|\quad {\text{for all }}i,\,$

其中a_ij为第i行第j列的元素。

上述的定义中用到大于等于，其条件较松，因此有时会称为弱对角占优矩阵，若上述的定义用大于代替大于等于，则称为强对角占优矩阵。对角优势矩阵可以指弱对角占优矩阵，也可以指强对角占优矩阵，视上下文而定。

变体

第一段的定义是考虑同一横行其他元素大小的和，有时也称为行对角优势矩阵，若是考虑同一直列其他元素大小的和，则称为列对角优势矩阵。

若一不可约矩阵是弱对角优势矩阵，但至少一横行（或一直列）符合强对角优势的条件，则此矩阵称为不可约对角优势矩阵。

例子

矩阵

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}3&-2&1\\1&-3&2\\-1&2&4\end{bmatrix}}$

可得

$|a_{11}|\geq |a_{12}|+|a_{13}|$   因为  $|3|\geq |-2|+|1|$

$|a_{22}|\geq |a_{21}|+|a_{23}|$   因为  $|-3|\geq |1|+|2|$

$|a_{33}|\geq |a_{31}|+|a_{32}|$   因为  $|4|\geq |-1|+|2|$.

因为任一对角线元素大小都大于等于同一行其他元素的和，因此A为对角优势矩阵。

矩阵

$\mathbf {B} ={\begin{bmatrix}-2&2&1\\1&3&2\\1&-2&0\end{bmatrix}}$

但是

$|b_{11}|<|b_{12}|+|b_{13}|$   因为  $|-2|<|2|+|1|$

$|b_{22}|\geq |b_{21}|+|b_{23}|$   因为  $|3|\geq |1|+|2|$

$|b_{33}|<|b_{31}|+|b_{32}|$   因为  $|0|<|1|+|-2|$.

因为$|b_{11}|$和$|b_{33}|$都小于同一列其他元素大小的和，因此B不是对角优势矩阵。

矩阵

$\mathbf {C} ={\begin{bmatrix}-4&2&1\\1&6&2\\1&-2&5\end{bmatrix}}$

可得

$|c_{11}|\geq |c_{12}|+|c_{13}|$   因为  $|-4|>|2|+|1|$

$|c_{22}|\geq |c_{21}|+|c_{23}|$   因为  $|6|>|1|+|2|$

$|c_{33}|\geq |c_{31}|+|c_{32}|$   因为  $|5|>|1|+|-2|$.

因为任一对角线元素大小都大于同一行其他元素的和，因此C为强对角优势矩阵。

应用及性质

强对角优势矩阵（或不可约对角优势矩阵）是非奇异方阵，此结果即为Levy–Desplanques定理，针对强对角优势矩阵的结果，可以用Gershgorin圆定理证明。

若埃尔米特对角优势矩阵$A$，其对角线为非负值，即为正定矩阵。

若不考虑对称性的条件，上述的矩阵不一定会是半正定矩阵。（例如，${\begin{bmatrix}-{\sqrt {5}}&2&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&1&0\\1&1&0\\1&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-{\sqrt {5}}\\2\\1\end{bmatrix}}=10-5{\sqrt {5}}<0$），但其特征值的实部为非负数（参见对角优势矩阵的结果，可以用Gershgorin圆定理。）

类似的，若埃尔米特强对角优势矩阵的对角线元素为正，此矩阵为正定矩阵，此矩阵等于某个对角线元素为非负值实数的埃尔米特强对角优势矩阵$A$加上$xI$，其中$x$为正的实数（也是正定矩阵）。

若高斯消元法（LU分解）的矩阵为强对角优势矩阵，不需要进行寻找主元的过程。

若一线性联立方程的矩阵为强对角优势矩阵或不可约对角优势矩阵，利用雅可比法及高斯-赛德尔迭代的计算结果会收敛。

许多从有限元素法中产生的矩阵都是对角优势矩阵。

参考资料

• Gene H. Golub & Charles F. Van Loan. Matrix Computations, 1996. ISBN 0-8018-5414-8
• Roger A. Horn & Charles R. Johnson. Matrix Analysis, Cambridge University Press, 1985. ISBN 0-521-38632-2 (paperback).

外部链接

• PlanetMath: Diagonal dominance definition （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• PlanetMath: Properties of diagonally dominant matrices （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Mathworld （页面存档备份，存于互联网档案馆）