怀特黑德定理

在数学领域代数拓扑学的同伦论中，怀特黑德定理说，拓扑空间X和Y之间的连续映射f，诱导出所有同伦群之间的同构，则当X和Y是连通，并都有CW复形的同伦型的时候，f是同伦等价。这条定理是J.H.C.怀特黑德在1949年的两篇重要论文中证明，给出理由以他在论文所引入的CW复形概念作为研究对象。

定理叙述

更准确而言，假设给定CW复形X和Y，各有基点x和y。给定连续映射

$f\colon X\to Y$

使得f(x) = y。考虑对于n ≥ 1 的诱导同态

$f_{*}\colon \pi _{n}(X,x)\to \pi _{n}(Y,y),$

在此 π_n 对 n ≥ 1 是第n个同伦群。当 n = 0 ，这是道路连通分支间的映射，若假设X和Y是连通的，那么这映射不具有基点，可以忽略掉。若同态 f_* 都是同构，便称 f 为一个弱同伦等价。怀特黑德定理说对于连通CW复形，一个弱同伦等价是一个同伦等价。

有同构同伦群的空间未必是同伦等价

有一点要注意：单单假设对每个n ≥ 1都有π_n(X)与π_n(Y)同构，并不足以得出X和Y是同伦等价。定理中必需设有映射f : X → Y能同时诱导出所有同伦群的同构。例如令 X= S² × RP³和Y= RP² × S³。那么X和Y有相同的基本群π₁，即是Z₂，也有相同的万有覆叠空间，即是S² × S³；因此它们有同构的同伦群（覆叠空间的投影诱导出对所有n ≥ 2的同伦群π_n的同构）。不过，它们的同调群不同（可以从屈内特公式看出）；所以X和Y不是同伦等价。

华沙圈

怀特黑德定理对于一般拓扑空间不成立，甚至不对Rⁿ的所有子空间成立。例如，华沙圈（Warsaw circle）是平面的子集，所有的同伦群都是零，但是从华沙圈到一点的映射不是一个同伦等价。将这定理推广至更一般空间的研究，是形状理论的一部分。

参考文献

• J. H. C. Whitehead, Combinatorial homotopy. I., Bull. Amer. Math. Soc., 55 (1949), 213–245
• J. H. C. Whitehead, Combinatorial homotopy. II., Bull. Amer. Math. Soc., 55 (1949), 453–496
• A. Hatcher, Algebraic topology（页面存档备份，存于互联网档案馆）, Cambridge University Press, Cambridge, 2002. xii+544 pp. ISBN 0-521-79160-X and ISBN 0-521-79540-0 (see Theorem 4.5)