拉马努金和

  提示：此条目页的主题不是拉马努金求和。

在数学的分支领域数论中，拉马努金和（英语：Ramanujan's sum）常标示为$c_{q}(n)$，为一个带有两正整数变量$q$以及$n$的函数，其定义如下：

$c_{q}(n)=\sum _{a=1 \atop (a,q)=1}^{q}e^{2\pi i{\tfrac {a}{q}}n},$

其中$(a,q)=1$表示$a$只能是与$q$互素的数。

斯里尼瓦瑟·拉马努金于1918年的一篇论文中引入这项和的观念。拉马努金和也用在维诺格拉多夫定理的证明，此定理指出：任何足够大的奇数可为三个素数的和。

本文符号汇整

若整数a与b，有关系$a\mid b$（念作“a整除b”），表示存在一个整数c使得b = ac；相似地，$a\nmid b$表示“a无法整除b”。

求和符号

$\sum _{d\,\mid \,m}f(d)$

表示d只采用其正整数约数m，亦即

$\sum _{d\,\mid \,12}f(d)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(6)+f(12)$。

另外用到的有：

• $(a,\,b)\;$为最大公约数，
• $\phi (n)\;$为欧拉总计函数，
• $\mu (n)\;$为莫比乌斯函数，以及
• $\zeta (s)\;$为黎曼ζ函数。

c_q(n)的数学式

三角函数

下面的式子源自于定义、欧拉公式$e^{ix}=\cos x+i\sin x$以及基本三角函数恒等式：

${\begin{aligned}c_{1}(n)&=1\\c_{2}(n)&=\cos n\pi \\c_{3}(n)&=2\cos {\tfrac {2}{3}}n\pi \\c_{4}(n)&=2\cos {\tfrac {1}{2}}n\pi \\c_{5}(n)&=2\cos {\tfrac {2}{5}}n\pi +2\cos {\tfrac {4}{5}}n\pi \\c_{6}(n)&=2\cos {\tfrac {1}{3}}n\pi \\c_{7}(n)&=2\cos {\tfrac {2}{7}}n\pi +2\cos {\tfrac {4}{7}}n\pi +2\cos {\tfrac {6}{7}}n\pi \\c_{8}(n)&=2\cos {\tfrac {1}{4}}n\pi +2\cos {\tfrac {3}{4}}n\pi \\c_{9}(n)&=2\cos {\tfrac {2}{9}}n\pi +2\cos {\tfrac {4}{9}}n\pi +2\cos {\tfrac {8}{9}}n\pi \\c_{10}(n)&=2\cos {\tfrac {1}{5}}n\pi +2\cos {\tfrac {3}{5}}n\pi \\\end{aligned}}$

等等（A000012, A033999, A099837, A176742,.., A100051, ...）。这些式子显示出c_q(n)为实数。

参考文献

书目

• Hardy, G. H., Ramanujan: Twelve Lectures on Subjects Suggested by his Life and Work, Providence RI: AMS / Chelsea, 1999, ISBN 978-0-8218-2023-0 

• Hardy, G. H.; Wright, E. M., An Introduction to the Theory of Numbers, Revised by D. R. Heath-Brown and J. H. Silverman. Foreword by Andrew Wiles. 6th, Oxford: Oxford University Press, 2008 [1938], ISBN 978-0-19-921986-5, Zbl 1159.11001 

• Knopfmacher, John, Abstract Analytic Number Theory 2nd, New York: Dover, 1990 [1975], ISBN 0-486-66344-2, Zbl 0743.11002 

• Nathanson, Melvyn B., Additive Number Theory: the Classical Bases, Graduate Texts in Mathematics 164, Springer-Verlag, Section A.7, 1996, ISBN 0-387-94656-X, Zbl 0859.11002 .
• Nicol, C. A. Some formulas involving Ramanujan sums. Canad. J. Math. 1962, 14: 284–286. doi:10.4153/CJM-1962-019-8. 

• Ramanujan, Srinivasa, On Certain Trigonometric Sums and their Applications in the Theory of Numbers, Transactions of the Cambridge Philosophical Society, 1918, 22 (15): 259–276  (pp. 179–199 of his Collected Papers)

• Ramanujan, Srinivasa, On Certain Arithmetical Functions, Transactions of the Cambridge Philosophical Society, 1916, 22 (9): 159–184  (pp. 136–163 of his Collected Papers)

• Ramanujan, Srinivasa, Collected Papers, Providence RI: AMS / Chelsea, 2000, ISBN 978-0-8218-2076-6 

• Schwarz, Wolfgang; Spilker, Jürgen, Arithmetical Functions. An introduction to elementary and analytic properties of arithmetic functions and to some of their almost-periodic properties, London Mathematical Society Lecture Note Series 184, Cambridge University Press, 1994, ISBN 0-521-42725-8, Zbl 0807.11001