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最小公倍数

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最小公倍数(英语:least common multiple,lcm)是数论中的一个概念。若有一个数,可以被另外两个数整除,且同时大于或等于,则公倍数的公倍数有无限个,而所有正的公倍数中,最小的公倍数就叫做最小公倍数。同样地,若干个整数公有的倍数中最小的正整数称为它们的最小公倍数。整数的最小公倍数一般记作:,或者参照英文记法记作

分数进行加减运算时,要求两数的分母相同才能计算,故需要通分;标准的计算步骤是将两个分数的分母通分成它们的最小公倍数,然后将通分后的分子相加。

与最大公因数之关系

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两个整数的最小公倍数与最大公因数之间有如下的关系:

计算方法

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最小公倍数可以通过多种方法得到,最直接的方法是列举法,从小到大列举出其中一个数(如最大数)的倍数,当这个倍数也是另一个数的倍数时,就求得最小公倍数。另一个方法是利用公式来求解,这时首先要知道它们的最大公因数。而最大公因数可以通过短除法得到。

利用整数的唯一分解定理,还可以用质因数分解法。将每个整数进行质因数分解。对每个质数,在质因数分解的表达式中寻找次数最高的乘幂,最后将所有这些质数乘幂相乘就可以得到最小公倍数。譬如求216384210的最小公倍数。对216384210来说:

其中对应的最高次乘幂为对应的最高次乘幂为对应的最高次乘幂分别是。将这些乘幂乘起来,就可以得到最小公倍数:

短除法

利用短除法,可以快速计算出多个整数的最小公倍数。

以下为例子:

假设我们要求12、20和42的最小公倍数。

a: 6 |12 18 42

b: 2 3 7

最小公倍数=a×b

因此,12、18和42和最小公倍数=6×2×3×7

所以,6×2×3×7=252,12、18和42的最小公倍数是252

递归计算多个整数的最小公倍数

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可以递归求出多个整数的最小公倍数:欲求 ,只需求

这利用了性质 。该性质证明如下:

的质因数分解分别为,其中 是第 个质数。

那么根据最小公倍数的定义,

证毕。

程式代码

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以下使用辗转相除法求得最大公因数,之后再求最小公倍数。

int GCD(int a, int b) {
	if(b) while((a %= b) && (b %= a));
	return a + b;
}

int LCM(int a, int b) {
	return a * b / GCD(a, b);
}

C++

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template<typename T>
T GCD(T a, T b) {
	if (b) while((a %= b) && (b %= a));
	return a + b;
}

template<typename T>
T LCM(T a, T b) {
	return a * b / GCD(a, b);
}

C#

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int GCD(int a, int b)
{
	return a % b == 0 ? b : GCD(b, a % b);
}

int LCM(int a, int b)
{
	return a * b / GCD(a, b);
}

Go

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func GCD(a, b int) int {
    if b == 0 {
        return a
    }
	return GCD(b, a%b)
}

func LCM(a, b int) int {
	return a * b / GCD(a, b)
}

Java

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int GCD(int a, int b) {
	return a % b == 0 ? b : GCD(b, a % b);
}

int LCM(int a, int b) { 
	return a * b / GCD(a, b);
}

Pascal

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function gcd(a,b:integer):longint;
begin
    if b=0 then gcd:=a
    else gcd:=gcd(b,a mod b);
end;

function lcm(a,b:integer):longint;
begin
    lcm:=(a*b) div gcd(a,b);
end;

Python

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def gcd(a, b):
    return a if b == 0 else gcd(b, a % b)
    
def lcm(a, b):
    return a * b / gcd(a, b)

Ruby

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def gcd(a, b)
  b.zero? ? a : gcd(b, a % b)
end

def lcm(a, b)
  a * b / gcd(a, b)
end

Swift

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func gcd(_ a: Int, _ b: Int) -> Int {
    return b == 0 ? a : gcd(b, a % b)
}

func lcm(_ a: Int, _ b: Int) -> Int {
    return a * b / gcd(a, b)
}

应用

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求最小公倍数是进行分数加减法时的步骤之一。将分母通分时,会把所有分数的分母通分为它们的最小公倍数,然后将分子相加。例如:

其中分母42就是21与6的最小公倍数。

参见

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参考来源

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  • 柯召,孙绮,孙琦. 《数论讲义》. 高等教育出版社. 2005. ISBN 753205473X. 
  • 阿尔伯特·H·贝勒著 谈祥柏译. 《数论妙趣:数学女王的盛情款待》. 上海教育出版社. 1998. ISBN 7040091909.