泊松李群

泊松李群 (Poisson-Lie group) 是一种几何结构，也是李群和泊松流形，而且两种结构自洽。它的李群直积 $G\times G\longrightarrow G$是泊松映射。它是经典力学和泊松几何学的有力的例子，也是表示论研究对象之一。 它在无穷小尺度的形式就是李双代数。

定义

泊松-李群是一个具有泊松括号的李群 $G$，其群乘法定义为 $\mu :G\times G\to G$，其中 $\mu (g_{1},g_{2})=g_{1}g_{2}$ 为泊松映射，其中流形 $G\times G$ 赋予了乘积泊松流形的结构。

对于泊松李群，以下等式恒成立：

$\{f_{1},f_{2}\}(gg')=\{f_{1}\circ L_{g},f_{2}\circ L_{g}\}(g')+\{f_{1}\circ R_{g'},f_{2}\circ R_{g'}\}(g)$

其中约定 $f_{1},f_{2}$ 是定义在泊松李群上的实数值的光滑函数，$g,g'$为群中任意的元素，$L$ 为元素的左乘，$R$ 为元素的右乘。

记 ${\mathcal {P}}$ 为泊松李群 $G$ 对应的泊松双向量（Poisson bivector），上述恒等式有等价形式：

${\mathcal {P}}(gg')=L_{g*}({\mathcal {P}}(g'))+R_{g'*}({\mathcal {P}}(g))$

特别的，如果取 $g=g'=e$ , 以上等式即为 ${\mathcal {P}}(e)=\{f,g\}(e)=0$ 。对单位元 $e$ 使用韦恩斯坦分裂定理 （页面存档备份，存于互联网档案馆）（Weinstein splitting theorem），可得知非平凡的泊松李群一定不具有辛结构，甚至不具有恒定的秩。

参考书目

• Vyjayanthi Chari, Andrew Pressley: A Guide to Quantum Groups, ISBN 0-521-55884-0