游荡集

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动力系统遍历理论数学的分支里,游荡集此一概念公式化了此系统中运动和混合的某些概念。当一个动力系统存在一非零测度的游荡集时,即代表此系统为一耗散结构。这和使用始态复现定理概念的保守系统极为不同。直觉上,游荡集和耗散结构之间的关系是很容易了解的:若一部分相空间在此系统正常的时间演化下会“游荡开来”,且不再接近,则此系统即是耗散的。使用游荡集的语言可以使耗散结构的概念有一个精确、数学的定义。

游荡点[编辑]

游荡集的一普通且离散时间的定义开始于一拓扑空间X本身的映射X内的x被称为游荡点若存在一x邻域U及一正整数N使得对所有的,其和其迭代函数都不会相交:

另有一个较方便的定义,只需要其交集为零测度即可。更精确地说,此一定义需要X为一测度空间,即部分的三元组,其中博雷尔集合,测度会使得

类似地,一连续时间的系统有一映射,其定义了此系统的时间演化或称为此系统的流量,其中时间演化算符为一于X上的一元连续阿贝尔群作用

在此情况下,一个于X内的游荡点x会有一个x邻域U及一时间T,使得对所有时间,其时间演化映射为零测度:

此一较简单的定义可以完全地被广义化至一般的作用上。设为一测度空间,即一具有定义于其博雷尔集合上之测度集合。再设Γ为作用在此集合上的。给定一于Ω内的点x,此集合

称做点x轨迹轨道

于Ω内的一元素x被称为一游荡点,若存在一x邻域U及Γ单位元的邻域V,使得对所有的

非游荡点[编辑]

非游荡点的定义在感觉上刚好相反。在离散的例子里,为非游荡点,若对每一包含x的开集合U,都可以找到在一些中,

相类的定义也可以被使用在连续时间及离散与连续群作用里。

游荡集和耗散系统[编辑]

一个游荡集为游荡点的聚合。更精确地说,Ω的子集W为一在一离散群Γ的群作用下的游荡集,若W为可测度的且对任一,交集

为一零测度的集点。

游荡集的概念在感觉上是和始态复现定理内所表示出来的概念互为正反。若存在一正测度的游荡集,Γ的群作用便被称为耗散的,且此一动力系统则被称为耗散结构。若不存在如此的游荡集,此一群作用则被称为保守的,且此一系统称为保守系统。例如,任何遵守始态复现定理的系统在定义上不可能存在正测度的游荡集;且因此为保守系统的例子。

一游荡集W轨迹的定义为

Γ的作用称为完全耗散的,若存在一正测度的游荡集W,使得轨道几乎处处相等于Ω,即若

为一零测度的集合。

参考文献[编辑]

  • Peter J. Nicholls, The Ergodic Theory of Discrete Groups, (1989) Cambridge University Press, Cambridge, ISBN 0-521-37674-2