梅滕斯猜想

图示为梅滕斯函数的前10000项与默滕斯猜想中的界限$\pm {\sqrt {n}}$。梅滕斯在计算梅滕斯函数的前一万个值之后，猜想$M(n)$的绝对值恒小于${\sqrt {n}}$，此猜想被安德鲁·奥德里兹科（Andrew Odlyzko）与赫尔曼·特里尔（Herman te Riele）于1985年证否

梅滕斯猜想是数论中的一个猜想，是有关数论中梅滕斯函数上下界的猜想，由汤姆斯·斯蒂尔吉斯在一封于1885年写给夏尔·埃尔米特与弗朗茨·梅滕斯（Franz Mertens）的信中提出。这一猜想如果成立的话可以推出黎曼猜想，不过已被安德鲁·奥德里兹科与赫尔曼·特里尔于1985年证否。

定义

数论中，有梅滕斯函数

$M(n)=\sum _{1\leq k\leq n}\mu (k)$

其中，$\mu (k)$表示默比乌斯函数。则梅滕斯猜想是指，对所有$n>1$，有

$\left|M(n)\right|<{\sqrt {n}}.\,$

猜想的证否

汤姆斯·斯蒂尔吉斯在1885年声称已证明比梅滕斯猜想要弱的结果，也就是$m(n)\equiv M(n)/{\sqrt {n}}$有界，但其结果没有发表（若用$m(n)$的方式表示，梅滕斯猜想是指$-1<m(n)<1$）

安德鲁·奥德里兹科与赫尔曼·特里尔在1985年证否了梅滕斯猜想，用的是LLL格缩减算法：

$\liminf ~m(n)<-1.009\quad$ and $\quad \limsup ~m(n)>1.06~$

之后也证实了第一个反例小于 $~e^{3.21\times 10^{64}}\approx 10^{1.39\times 10^{64}}~$，大于10¹⁶，后来的上限已降到$~e^{1.59\times 10^{40}}~$或近似$~10^{6.91\times 10^{39}}~,$，但还没找到确切的反例数值。

参考文献

• T. Kotnik and Herman te Riele (2006), "The Mertens Conjecture Revisited", Lecture Notes in Computer Science 4076 (Proceedings of the 7th Algorithmic Number Theory Symposium), pp. 156-167.
• T. Kotnik and J. van de Lune (2004), "On the order of the Mertens function", Experimental Mathematics 13, pp. 473-481
• F. Mertens (1897), "Über eine zahlentheoretische Funktion", Sitzungsberichte der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften, Mathematisch-Naturwissenschaftliche Klasse, Abteilung 2a, 106, pp. 761-830.
• Odlyzko, A. M.; te Riele, H. J. J., Disproof of the Mertens conjecture (PDF), Journal für die reine und angewandte Mathematik, 1985, 357: 138–160 [2012-09-08], ISSN 0075-4102, doi:10.1515/crll.1985.357.138, MR783538, （原始内容存档 (PDF)于2015-09-12） 
• Stieltjes, T. J., Lettre a Hermite de 11 juillet 1885, Lettre #79, Baillaud, B.; Bourget, H. (编), Correspondance d’Hermite et Stieltjes, Paris: Gauthier—Villars: 160–164, 1905 
• 埃里克·韦斯坦因. Mertens conjecture. MathWorld. 
• Sándor, József; Mitrinović, Dragoslav S.; Crstici, Borislav (编), Handbook of number theory I, Dordrecht: Springer-Verlag: 187–189, 2006, ISBN 1-4020-4215-9, Zbl 1151.11300 
• Pintz, J. An effective disproof of the Mertens conjecture (PDF). Astérisque. 1987,. 147–148: 325–333 [2021-10-16]. Zbl 0623.10031. （原始内容存档 (PDF)于2021-04-15）.