真空电容率

真空电容率，又称为真空介电系数，或电常数，是一个常见于电磁学的物理常数，符号为 $\epsilon _{0}$ 。在国际单位制里，真空电容率的数值为^[1]：

\epsilon _{0}\approx 8.854\ 187\ 817\dots \ \times 10^{-12}

法拉／米。

真空电容率 $\epsilon _{0}$ 可以用公式定义为

\epsilon _{0}\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {1}{\mu _{0}{c_{0}}^{2}}}

；

其中， $c_{0}$ 是光波传播于真空的光速^[2]， $\mu _{0}$ 是真空磁导率。

采用国际单位制， $c_{0}$ 的数值定义为^[3] $299\ 792\ 458$ 米／秒，但根据2019年新国际单位制， $\mu _{0}$ 的数值是近似值。因此， $\epsilon _{0}$ 的数值不是定义值，近似为^[1]

\epsilon _{0}\approx 8.854\ 187\ 817\ldots \times 10^{-12}

安培²秒⁴千克^-1米^-3（或者法拉／米）。

这些数值都可以在2006 CODATA报告里找到^[4]。

真空电容率出现于电位移 $\mathbf {D} \,\!$ 的定义式：

\mathbf {D} \ {\stackrel {def}{=}}\ \epsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P} \,\!

；

其中， $\mathbf {E} \,\!$ 是电场， $\mathbf {P} \,\!$ 是电介质的经典电极化强度。

学术界常遇到一个错误的观点，就是认为真空电容率 $\epsilon _{0}\,\!$ 是一个可实现真空的一个物理性质。正确的观点应该为， $\epsilon _{0}\,\!$ 是一个度量系统常数，是由国际公约发表和定义而产生的结果。 $\epsilon _{0}\,\!$ 的定义值是由光波在参考系统的光速或基准（benchmark）光速的衍生而得到的数值。这参考系统称为自由空间，被用为在其它各种介质的测量结果的比较基线。可实现真空，像外太空、超高真空（ultra high vacuum）、量子色动真空（QCD vacuum）、量子真空（quantum vacuum）等等，它们的物理性质都只是实验和理论问题，应与 $\epsilon _{0}\,\!$ 分题而论。 $\epsilon _{0}\,\!$ 的含义和数值是一个度量衡学（metrology）问题，而不是关于可实现真空的问题。为了避免产生混淆，许多标准组织现在都倾向于采用电常数为 $\epsilon _{0}\,\!$ 的名称。

历史背景

如同前面所述，真空电容率 $\epsilon _{0}\,\!$ 是一个度量系统常数。它的出现于电磁量的定义方程，主要是因为一个称为理想化的程序。只使用纯理论的推导，麦克斯韦方程组奇异地预测出，电磁波以光速传播于自由空间。继续推论这个预测，就可以给出 $\epsilon _{0}\,\!$ 的数值。若想了解为什么 $\epsilon _{0}\,\!$ 会有这数值，必须稍微阅读一下电磁度量系统的发展史。

在以下的讲述中，请注意到我们经典物理并不特别区分“真空”和“自由空间”这两个术语。当今文献里，“真空”可能指为很多种不同的实验状况和理论实体。在阅读文献时，只有上下文可以决定术语的含意。

单位理想化

查尔斯·库仑和其它物理学家的实验，证明库仑定律：分开距离为 $r\,\!$ ，电量都是 $Q\,\!$ 的两个点电荷，其相互作用于对方的力 $F\,\!$ ，可以用方程表达为

F={\frac {k_{\mathrm {e} }Q^{2}}{r^{2}}}\,\!

；

其中， $k_{\mathrm {e} }\,\!$ 是个常数。

假若，对其它变量不加以任何约束，则 $k_{\mathrm {e} }\,\!$ 可以任意地设定。对于每一个不同的 $k_{\mathrm {e} }\,\!$ 数值设定， $Q\,\!$ 的诠释也相随地不同。为了要避免混淆不清，每一个不同的诠释必须有不同的名称和标记符号^[5]。

厘米-克-秒静电制是一个十九世纪后期建立的标准系统。在这标准系统里，常数 $k_{\mathrm {e} }\,\!$ 的数值被设定为1，电荷量的量纲被称为高斯电荷量。这样，作用力的方程变为

F={\frac {{q_{s}}^{2}}{r^{2}}}\,\!

；

其中， $q_{s}\,\!$ 是高斯电荷量。

假设两个点电荷的电荷量都是一个单位高斯电荷量，分隔距离是1厘米。则两个点电荷相互作用于对方的力是1 达因。那么，高斯电荷量的量纲也可以写为“达因^1/2厘米”。这与国际单位制的量纲，“牛顿^1/2米”，有同样的量纲。但是，高斯电荷量与国际单位制电荷量的量纲并不相同。高斯电荷量不是用库仑来测量的。

后来，科学家觉得，对于球几何案例，应该加入因子 $4\pi \,\!$ 于库仑定律，表达方程为

F=\;k'_{\mathrm {e} }{q'_{s}}^{2}/4\pi r^{2}\,\!

；

其中， $k'_{\mathrm {e} }\,\!$ 、 $q'_{s}\,\!$ 分别为新的常数和电荷量。

这个点子称为理想化。设定 $k'_{\mathrm {e} }=1\,\!$ 。电量单位也改变了，但是，电量的量纲仍旧是“达因^1/2厘米”。

下一个步骤是将电量表达为一个独自的基本物理量，标记为 $q\,\!$ ，将库仑定律写为它的现代形式：

F=q^{2}/4\pi \epsilon _{0}r^{2}\,\!

。

很明显地，旧厘米-克-秒静电制里的电量 $q_{s}\,\!$ 与新的国际标准制电量 $q\,\!$ 的关系式为

q_{s}=q/{\sqrt {4\pi \epsilon _{0}}}\,\!

。

ε₀数值的设定

采用国际标准制，要求力的单位为牛顿，距离的单位为米，电荷量的单位为工程师的实用单位，库仑，定义为1 安培的电流在1秒钟内所累积的电荷量。那么，真空电容率的量纲应该是 “库仑²牛顿^-1米^-2”（或者，“法拉¹米^-1”）。

真空电容率的数值可以从麦克斯韦方程组求得。观察在真空中的麦克斯韦方程组的微分形式：

\nabla \cdot \mathbf {E} =0\,\!

、

\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\,\!

、

\nabla \cdot \mathbf {B} =0\,\!

、

\nabla \times \mathbf {B} =\epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\,\!

;

其中， $\mathbf {E} \,\!$ 是电场， $\mathbf {B} \,\!$ 是磁感应强度。

取第四个麦克斯韦方程的旋度，

\nabla \times (\nabla \times \mathbf {B} )=\epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial (\nabla \times \mathbf {E} )}{\partial t}}\,\!

。

将第二个麦克斯韦方程（法拉第方程）代入，则可得到

\nabla \times (\nabla \times \mathbf {B} )=-\epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {B} }{\partial t^{2}}}\,\!

。

应用一个矢量恒等式，

\nabla \times (\nabla \times \mathbf {B} )=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {B} )-\nabla ^{2}\mathbf {B} \,\!

。

再注意到第三个麦克斯韦方程（高斯磁定律），所以，

\nabla \times (\nabla \times \mathbf {B} )=-\nabla ^{2}\mathbf {B} \,\!

。

这样，就可以得到光波的磁场波动方程：

\nabla ^{2}\mathbf {B} -\epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {B} }{\partial t^{2}}}=0\,\!

。

以同样的方式，也可得到光波的电场波动方程：^{[注 1]}

\nabla ^{2}\mathbf {E} -\epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}=0

。

这光波传播的速度（光速 $c_{0}\,\!$ ）是

c_{0}=1/{\sqrt {\epsilon _{0}\mu _{0}}}\,\!

。

这方程表达出光速、真空电容率、真空磁导率，这三个物理量的相互关系。原则上，科学家可以选择以库仑，或是以安培为基本电磁单位^[6]。经过仔细的考量，国际单位组织决定以安培为基本电磁单位。因此， $\mu _{0}\,\!$ 、 $c_{0}\,\!$ 的数值设定了 $\epsilon _{0}\,\!$ 的数值。若想知道如何决定 $\mu _{0}\,\!$ 的数值，请参阅条目真空磁导率。

可实现真空和自由空间

自由空间（free space）是一个理想的参考状态，可以趋近，但是在物理上是永远无法达到的状态。可实现真空有时候被称为部分真空（partial vacuum），意指需要超低气压，但超低气压并不是近似自由空间的唯一条件^[7]。

与经典物理内的真空不同，现今时代的物理真空意指的是真空态（vacuum state），或量子真空。这种真空绝对不是简单的空无一物的空间^[8]^[9]。因此，自由空间不再是物理真空的同义词。若想要知道更多细节，请参阅条目自由空间和真空态。

对于为了测量国际单位的数值，而在实验室制成的任何部分真空，一个很重要的问题是，部分真空是否可以被满意地视为自由空间的实现？还有，我们必须怎样修正实验的结果，才能使这些结果适用于基线？例如，为了弥补气压高于零而造成的误差，科学家可以做一些修正^[10]。

若想知道怎样才能制成优良的部分真空，请参阅条目超高真空（ultra high vacuum）和自由空间。

请注意，这些缺陷并不会影响真空电容率 $\epsilon _{0}\,\!$ 的意义或数值。 $\epsilon _{0}\,\!$ 是个定义值，是由国际标准组织，通过光速和真空磁导率的定义值而衍生的。

参阅

注释

^ 取第二个麦克斯韦方程（法拉第方程）的旋度，并将第四个麦克斯韦方程 $\nabla \times \mathbf {B} =\epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}$ 代入，则可得到
${\begin{aligned}\nabla \times (\nabla \times \mathbf {E} )&=-{\frac {\partial (\nabla \times \mathbf {B} )}{\partial t}}\\&=-\epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}\\\end{aligned}}$ 。
应用一个矢量恒等式，再代入第一个麦克斯韦方程 $\nabla \cdot \mathbf {E} =0$ ，即得
${\begin{aligned}\nabla \times (\nabla \times \mathbf {E} )&=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {E} )-\nabla ^{2}\mathbf {E} \\&=-\nabla ^{2}\mathbf {E} \\\end{aligned}}$ 。
这样，就可以得到光波的电场波动方程
$\nabla ^{2}\mathbf {E} -\epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}=0$ 。

参考文献

^ ^1.0 ^1.1 CODATA. Electric constant. 2006 CODATA recommended values. NIST. [2007-08-08]. （原始内容存档于2007-04-23）.
^ 引述自 NIST（国家标准与技术学院）：现行的惯例是按照ISO 31的建议，用 $c_{0}$ 来标记在真空的光速。原本的1983年建议书主张采用 $c$ 来做此用途。
^ NIST對於公尺的定義 (html). NIST. [2009-06-01]. （原始内容存档于2011-08-22）.
^ CODATA報告 (pdf). NIST. [2009-06-01]. （原始内容存档 (PDF)于2018-06-12）.
^ Cardarelli, François. Encyclopaedia of Scientific Units, Weights and Measures: Their SI Equivalences and Origins 2nd. Springer. 2004. ISBN 9781852336820.
^ John David Jackson. Classical electrodynamics Third. New York: Wiley. 1999: Appendix on units and dimensions; pp. 775 et seq.。. ISBN 047130932X. 怎样选择独立单位的叙述
^ 物理术语部分真空指出，近似真空和自由空间的一个主要分歧源点，是来自于无法达到0气压。但是，还有其它非理想性的可能源点。参阅，例如，Di Piazza, Antonino; K. Hatsagortsyan & C. Keitel, Light diffraction by a strong standing electromagnetic wave, Phys.Rev.Lett., 2006, 97: 083603 [2016-02-21], （原始内容存档于2021-05-20） Gies, Holger; J. Jaeckel & A. Ringwald, Polarized light propagating in a magnetic field as a probe for millicharged fermions, Phys. Rev. Letts., 2006, 97: 140402 [2009-06-01], （原始内容存档于2021-05-20）
^ Astrid Lambrecht (Hartmut Figger, Dieter Meschede, Claus Zimmermann Eds.). Observing mechanical dissipation in the quantum vacuum: an experimental challenge；在物理書 Laser physics at the limits. Berlin/New York: Springer. 2002: 197. ISBN 3540424180.
^ Walter Dittrich & Gies H. Probing the quantum vacuum: perturbative effective action approach. Berlin: Springer. 2000. ISBN 3540674284.
^ 对于这类修正，CIPM RECOMMENDATION 1 (CI-2002)p. 195 （页面存档备份，存于互联网档案馆）的建议是：
♦ …在每一个案例里，为了要处理真实发生的事件，像衍射、地心引力，或不完美的真空等等，任何必要的修正都必须仔细执行。
除此以外，
♦ …科学家认为米是单位固有长度（proper length）。米的定义，只适用于一个足够小的区域内，这样，可以忽略重力场的不均匀性。
CIPM是国际重量和度量会议（International Committee for Weights and Measures）的首字母缩略字。

[6] 取第二个麦克斯韦方程（法拉第方程）的旋度，并将第四个麦克斯韦方程 $\nabla \times \mathbf {B} =\epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}$ 代入，则可得到
${\begin{aligned}\nabla \times (\nabla \times \mathbf {E} )&=-{\frac {\partial (\nabla \times \mathbf {B} )}{\partial t}}\\&=-\epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}\\\end{aligned}}$ 。
应用一个矢量恒等式，再代入第一个麦克斯韦方程 $\nabla \cdot \mathbf {E} =0$ ，即得
${\begin{aligned}\nabla \times (\nabla \times \mathbf {E} )&=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {E} )-\nabla ^{2}\mathbf {E} \\&=-\nabla ^{2}\mathbf {E} \\\end{aligned}}$ 。
这样，就可以得到光波的电场波动方程
$\nabla ^{2}\mathbf {E} -\epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}=0$ 。

[NIST-1] 1.0 ^1.1 CODATA. Electric constant. 2006 CODATA recommended values. NIST. [2007-08-08]. （原始内容存档于2007-04-23）.

[2] 引述自 NIST（国家标准与技术学院）：现行的惯例是按照ISO 31的建议，用 $c_{0}$ 来标记在真空的光速。原本的1983年建议书主张采用 $c$ 来做此用途。

[3] NIST對於公尺的定義 (html). NIST. [2009-06-01]. （原始内容存档于2011-08-22）.

[4] CODATA報告 (pdf). NIST. [2009-06-01]. （原始内容存档 (PDF)于2018-06-12）.

[5] Cardarelli, François. Encyclopaedia of Scientific Units, Weights and Measures: Their SI Equivalences and Origins 2nd. Springer. 2004. ISBN 9781852336820.

[Jackson-7] John David Jackson. Classical electrodynamics Third. New York: Wiley. 1999: Appendix on units and dimensions; pp. 775 et seq.。. ISBN 047130932X. 怎样选择独立单位的叙述

[8] 物理术语部分真空指出，近似真空和自由空间的一个主要分歧源点，是来自于无法达到0气压。但是，还有其它非理想性的可能源点。参阅，例如，Di Piazza, Antonino; K. Hatsagortsyan & C. Keitel, Light diffraction by a strong standing electromagnetic wave, Phys.Rev.Lett., 2006, 97: 083603 [2016-02-21], （原始内容存档于2021-05-20） Gies, Holger; J. Jaeckel & A. Ringwald, Polarized light propagating in a magnetic field as a probe for millicharged fermions, Phys. Rev. Letts., 2006, 97: 140402 [2009-06-01], （原始内容存档于2021-05-20）

[Lambrecht-9] Astrid Lambrecht (Hartmut Figger, Dieter Meschede, Claus Zimmermann Eds.). Observing mechanical dissipation in the quantum vacuum: an experimental challenge；在物理書 Laser physics at the limits. Berlin/New York: Springer. 2002: 197. ISBN 3540424180.

[Dittrich-10] Walter Dittrich & Gies H. Probing the quantum vacuum: perturbative effective action approach. Berlin: Springer. 2000. ISBN 3540674284.

[BIPM-11] 对于这类修正，CIPM RECOMMENDATION 1 (CI-2002)p. 195 （页面存档备份，存于互联网档案馆）的建议是：
♦ …在每一个案例里，为了要处理真实发生的事件，像衍射、地心引力，或不完美的真空等等，任何必要的修正都必须仔细执行。
除此以外，
♦ …科学家认为米是单位固有长度（proper length）。米的定义，只适用于一个足够小的区域内，这样，可以忽略重力场的不均匀性。
CIPM是国际重量和度量会议（International Committee for Weights and Measures）的首字母缩略字。

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[注 1]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

历史背景

单位理想化

ε0数值的设定

可实现真空和自由空间

参阅

注释

参考文献

ε₀数值的设定