不失一般性
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不失一般性(without loss of generality,缩写:WLOG、WOLOG)是数学证明中的一种用词,表示虽然证明中引入了原命题不包含的假设,但是其仍然充分证明了原命题,而非仅仅证明了一个特例。这一用词常见于证明带有对称性的命题。[1]
例子
[编辑]舒尔不等式声称,对于任意非负实数、、和正数都有:
对其的证明便可以假设:
不失一般性,设。
因为是实数集上的全序关系,、、、、、六种情况中中至少有一种成立。舒尔不等式的对称性使得在、、之间交换名字仍会得到完全相同的不等式。只需有以上任意一种情况下的证明,则任一其他情况下均可以简单地通过变换该证明中的字母而得证。因此证明中可以假设,而略去其他情况下的证明。[1]
一些可以直接地被变换为另一种更简单形式的命题,其证明中也可用到该词。如代数基本定理:
其证明可以假设:
不失一般性,设该多项式最高次项的系数为。[2]
因为该多项式最高次项原本的系数不为,而多项式乘以任意常数均不改变其根的性质,故可以作出此假设。
参考资料
[编辑]- ^ 1.0 1.1 John Harrison. Without Loss of Generality. Theorem Proving in Higher Order Logics. TPHOLs 2009. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag: 43–59. 2009 [2023-12-25]. ISBN 978-3-642-03359-9. (原始内容存档于2023-12-25).
- ^ Vladimir A. Zorich. Mathematical Analysis I. Universitext. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag. 2015: 281 [2023-12-25]. ISBN 978-3-662-48792-1. (原始内容存档于2023-12-25).
参见
[编辑]外部链接
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