在数学中,凸共轭(英语:convex conjugate)是勒让德变换的一种推广;凸共轭也被称作勒让德-芬克尔变换(Legendre–Fenchel transformation),以阿德里安-马里·勒让德和威尔纳·芬克尔命名。
函数
在扩展的实数轴上取值。
它的凸共轭定义为:
这里,
表示实赋范向量空间,
表示
的对偶空间。
映射
表示一个二次型,满足:对于
(
)中任意非零元素
,总能在
(对应地,
)中找到一个元素
使得
。
- 仿射变换
;它的凸共轭是:
- 幂函数
;它的凸共轭是:
这里
- 绝对值变换
;它的凸共轭是:
- 指数函数
;它的凸共轭是:
如果
,那么就有
。这里的
指,对定义域中所有元素
,都有
成立。
函数
的凸共轭总具有半连续性,因此函数
的两次共轭
也具有半连续性。同时,
还是是闭凸包,也即最大的凸的半连续函数,满足
。
由Fenchel-Moreau定理可以知道,对于合适的函数
,
当且仅当
是半连续的凸函数。
, 这里
,
是
的凸共轭。
凸共轭算子自身是凸的,即:
取函数
,
间任意实数
,有:
成立。
对于两个函数f和g,它们的最小值卷积被定义为
![{\displaystyle \left(f\Box g\right)(x)=\inf \left\{f(x-y)+g(y)\,|\,y\in \mathbb {R} ^{n}\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/359ab799cdba34e01dcb0c2478d4c03215cbf4c9)
如果 f1, …, fm 都是Rn上的proper且凸且半连续的函数。那么它们的最小值卷积是凸且半连续的(但不一定proper),并且满足关系
![{\displaystyle \left(f_{1}\Box \cdots \Box f_{m}\right)^{*}=f_{1}^{*}+\cdots +f_{m}^{*}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/961edb42b675aba7d9615b0ec29a5cf83be9723f)
两个函数的最小值卷积具有几何意义。两个函数的最小值卷积的超图是这两个函数的超图的闵可夫斯基和