卡诺定理 (垂线)

卡诺定理以拉扎尔·卡诺命名，为垂直于三角形各边的直线是否交于一点提供了一个充分必要条件。该定理也可被视为是毕氏定理的一般化。

定理

对于一个三角形 $ABC$ ，其三边为 $a,b,c$ 。考虑三条垂直于各边且交于一点的直线，若 $P_{a},P_{b},P_{c}$ 是这三条垂线在 $a,b,c$ 上的垂足，则下列关系式成立：

|AP_{c}|^{2}+|BP_{a}|^{2}+|CP_{b}|^{2}=|BP_{c}|^{2}+|CP_{a}|^{2}+|AP_{b}|^{2}

该命题的逆命题同样成立：若 $P_{a},P_{b},P_{c}$ 在边上的位置满足关系式，则以这三点为垂足做出的三条垂线会交于一点。因此，该关系式为垂线是否交于一点提供了一个充分必要条件。

特例

若三角形 $\triangle ABC$ 的角 $C$ 为直角，则可以将三条垂线的交点 $F$ 置于 $A$ 上。此时由于 $P_{a}=C$ 、 $P_{b}=A$ 且 $P_{c}=A$ ，可得 $|AP_{b}|=0$ 、 $|AP_{c}|=0$ 、 $|CP_{a}|=0$ 、 $|CP_{b}|=b$ 、 $|BP_{a}|=a$ 与 $|BP_{c}|=c$ ，代入卡诺定理的关系式后，即可推得毕氏定理 $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ 。

若三条垂线皆为中垂线，则 $|AP_{c}|=|BP_{c}|$ 、 $|BP_{a}|=|CP_{a}|$ 且 $|CP_{b}|=|AP_{b}|$ ，无论三边长度为何，上述关系式必会成立，故可推得三角形的三条中垂线必交于一点。

参考资料

Wohlgemuth, Martin. (编). Mathematisch für fortgeschrittene Anfänger : Weitere beliebte Beiträge von Matroids Matheplanet. Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag. 2010: 273–276. ISBN 9783827426079. OCLC 699828882 （German）.
阿尔弗雷德·S·波萨门蒂; Charles T. Salkind. Challenging Problems in Geometry. New York: Dover. 1996: 85–86. ISBN 9780486134864. OCLC 829151719.