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卡诺定理 (垂线)

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卡诺定理:若三角形三边上的垂线交于一点F,则蓝色区域面积等于红色区域面积

卡诺定理拉扎尔·卡诺命名,为垂直于三角形各边的直线是否交于一点提供了一个充分必要条件。该定理也可被视为是毕氏定理的一般化。

定理

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对于一个三角形,其三边为。考虑三条垂直于各边且交于一点的直线,若是这三条垂线在上的垂足,则下列关系式成立:

该命题的逆命题同样成立:若在边上的位置满足关系式,则以这三点为垂足做出的三条垂线会交于一点。因此,该关系式为垂线是否交于一点提供了一个充分必要条件

特例

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若三角形的角为直角,则可以将三条垂线的交点置于上。此时由于,可得,代入卡诺定理的关系式后,即可推得毕氏定理

若三条垂线皆为中垂线,则,无论三边长度为何,上述关系式必会成立,故可推得三角形的三条中垂线必交于一点。

参考资料

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