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卡諾定理 (垂線)

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卡諾定理:若三角形三邊上的垂線交於一點F,則藍色區域面積等於紅色區域面積

卡諾定理拉扎爾·卡諾命名,為垂直於三角形各邊的直線是否交於一點提供了一個充分必要條件。該定理也可被視為是畢氏定理的一般化。

定理

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對於一個三角形,其三邊為。考慮三條垂直於各邊且交於一點的直線,若是這三條垂線在上的垂足,則下列關係式成立:

該命題的逆命題同樣成立:若在邊上的位置滿足關係式,則以這三點為垂足做出的三條垂線會交於一點。因此,該關係式為垂線是否交於一點提供了一個充分必要條件

特例

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若三角形的角為直角,則可以將三條垂線的交點置於上。此時由於,可得,代入卡諾定理的關係式後,即可推得畢氏定理

若三條垂線皆為中垂線,則,無論三邊長度為何,上述關係式必會成立,故可推得三角形的三條中垂線必交於一點。

參考資料

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