反射 (数学)

在数学中，反射是把一个物体变换成它的镜像的映射。要反射一个平面图形，需要“镜子”是一条直线（反射轴），对于三维空间中的反射就要使用平面作为镜子。反射有时被认为是圆反演的特殊情情况，参考圆有无限半径。

在几何上说，要找到一个点的反射，可从这个点向反射轴画一条垂线。并在另一边延续相同的距离。要找到一个图形的反射，需要反射这个图形的每个点。

两次反射回到原来的地方。反射保持在点之间的距离。反射不移动在镜子上的点，镜子的维数比发生反射的空间的维数要小1。这些观察允许我们形式化反射的定义：反射是欧几里得空间的对合等距同构，它的不动点集合是余维数为1的仿射子空间。

在经历特定反射后不改变的图形被称为有反射对称性。

密切关联于反射的是斜反射和圆反演。这些变换仍对合于有余维数1的不动点的集合，但它们不再是等距的。

豪斯霍尔德变换

给定在欧几里得空间Rⁿ中的一个向量a，在通过原点的正交于a的超平面中的反射的公式是

\mathrm {Ref} _{a}(v)=v-2{\frac {v\cdot a}{a\cdot a}}a

这里的v·a指示v和a的点积。注意在上面等式中的第二项就是v在a上的投影的两倍。可以轻易的检查

因为这些反射是欧几里得空间的固定原点的等距同构，它们可以表示为正交矩阵。对应于上面反射的正交矩阵是有如下元素的矩阵

R_{ij}=\delta _{ij}-2{\frac {a_{i}a_{j}}{\|a\|^{2}}}

这里的δ_ij是克罗内克δ。

在仿射超平面 $v\cdot a=c$ 中的反射的公式是

\mathrm {Ref} _{a,c}(v)=v-2{\frac {v\cdot a-c}{a\cdot a}}a.

任何一个Rⁿ中正交变换都能写成一些反射的复合，且映射的个数可以不多于n个，这是嘉当-迪厄多内定理的结论。对于不定空间R^p,q也是成立的。