合同 (数学)

在数学中，合同（英语：Congruence，符号：≅）做为一个一般性的概念，指的是一组物件之间的等价关系。例如：

• 几何中的合同或称全等，亦即等距同构，一般来说，就是相同的形状与大小。
• 算术中的合同，亦即同馀。同馀是抽象代数中的同馀关系的原型。同馀所使用的符号是 ≡。
• 抽象代数中的合同，亦即同馀关系，这是代数结构之间在结构上相容的等价关系。
• 矩阵论中的合同，亦即合同矩阵。若存在非奇异矩阵$P$，使得 $P^{T}AP=B$，则称$A,B$是合同或相合的。

合同符号的历史

莱布尼兹最先发明了相似与合同的符号，他使用波浪号（$\sim$）来表示几何形的相似，另在波浪号下方加上一条横线（$\simeq$）来表示几何形的合同。十八世纪的数学家将相似符号（$\sim$）与等号（$=$）结合在一起（$\cong$），更能表达出合同的意义，亦即相似与相等的重合概念。

高斯于1801年出版了《算术研究》，其中使用三横线（$\equiv$）来表示算术上的合同。高斯的学生黎曼使用这个符号来表示几何上的相同（identical，两个几何形经由移动与转动而完全叠合）或是算术上的恒等（identity），稍后的数学家则使用这个符号来表示几何上的合同，并在大英帝国流行起来。因此，在十九世纪的英国，算术与几何的合同都是用$\equiv$符号来表示。

最早采用波浪符号（$\sim$与$\cong$）的美国数学家是 G. A. Hill 与 G. B. Halsted。二十世纪的美国数学家群起使用$\sim$来表示几何上的相似，$\cong$表示几何上的合同，而成为现代的标准。算术的合同符号仍旧沿用高斯的符号。

外部链接

• Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (C)（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Origins of some arithmetic terms - Pballew.net#congruen
• The historical development of group theoretical ideas in connection with Euclid's axiom of congruence.（页面存档备份，存于互联网档案馆）

参见

• 全等
• 同馀
• 同馀关系
• 合同矩阵