同餘關係

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数学特别是抽象代数中,同餘关系或简称同餘是相容于某个代数运算的等价关系

模算术[编辑]

元型例子是模算术: 对于一个正整数 n,两个整数 ab 被称为同餘模 n,如果 a − b 整除于 n (还有一个等价的条件是它们除以 n 得出同样的餘数)。

例如,5 和 11 同餘模 3:

11 ≡ 5 (mod 3)

因为 11 − 5 得出 6,它整除于 3。或者等价的说,这两个数除以 3 得到相同的餘数:

11 = 3×3 + 2
5 = 1×3 + 2

如果 a_1 \equiv b_1 \pmod n 并且 a_2 \equiv b_2 \pmod n,则 a_1+a_2 \equiv b_1+b_2 \pmod n 并且 a_1a_2 \equiv b_1b_2 \pmod n。这把同餘(mod n)变成了在所有整数的环上的一个等价。

线性代数[编辑]

两个实数矩阵 AB 被称为合同的,如果存在可逆实数矩阵 P 使得

 P^\top A P = B

对称矩阵有实数特征值。对称矩阵的“惯性”是由正特征值的数目、零特征值的数目和负特征值的数目组成的三元组。Sylvester惯性定律声称两个对称实数矩阵是合同的,当且仅当它们有相同的惯性。所以,全等变换可以改变矩阵的特征值但不能改变特征值的符号。

对于复数矩阵,必须区分“T合同” (ABT合同,如果有可逆矩阵 P 使得 PTAP = B) 和“*合同” (AB 是*合同,如果有可逆矩阵 P 使得 P*AP = B)。

泛代数[编辑]

想法是推广到泛代数中: 代数 A 上的同餘关系是直积 A × A子集,它既是在 A 上的等价关系又是 A × A子代数

同态总是同餘。实际上,所有同餘引起自核。对于给定在 A 上的同餘 ~,等价类的集合 A/~ 可以自然的方式给出自代数的结构商代数。映射所有 A 的元素到它的等价类的函数是同态,这个同态的核是 ~。

在一个代数上的所有同餘关系的代数格

群的同餘、正规子群和理想[编辑]

的特殊情况下,同餘关系可以用基本术语描述为: 如果 G 是群(带有单位元 e)并且 ~ 是在 G 上的二元关系,则 ~ 是同餘只要:

  1. 给定 G任何元素 aa ~ a (自反关系)。
  2. 给定 G 任何的元素 ab如果 a ~ b,则 b ~ a (对称关系)。
  3. 给定 G 的任何元素 a, bc,如果 a ~ b 并且 b ~ c,则 a ~ c (传递关系)。
  4. 给定 G 的任何元素 a, a' , bb' ,如果 a ~ a' 并且 b ~ b' , 则 a * b ~ a' * b'
  5. 给定 G 的任何元素 aa' ,如果 a ~ a' ,则 a−1 ~ a' −1 (这个条件可以从其他四个条件证明,所以严格上是冗餘的)。

条件 1, 2 和 3 声称 ~ 是等价关系

同餘 ~ 完全确定自 G 的同餘于单位元的那些元素的集合 {aG : a ~ e},而这个集合是正规子群。特别是,a ~ b 当且仅当 b−1 * a ~ e。所以替代谈论在群上同餘,人们通常以正规子群的方式谈论它们;事实上,所有同餘都唯一的对应于 G 的某个正规子群。

环理想和一般情况的核[编辑]

类似的技巧允许谈论环中的核为理想来替代同餘关系,在模理论中为子模来替代同餘关系。

这个技巧不适用于幺半群,所以同餘关系的研究在幺半群理论扮演更中心的角色。

参见[编辑]

引用[编辑]

  • Horn and Johnson, Matrix Analysis, Cambridge University Press, 1985. ISBN 0-521-38632-2. (Section 4.5 discusses congruency of matrices.)