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哈密顿量 (最佳控制)

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最优控制中的哈密顿量(Hamiltonian)是由列夫·庞特里亚金所发展,是庞特里亚金最小化原理的一部份[1]。哈密顿量的概念是由古典力学中的哈密顿力学所引发,但两者是不同的概念。庞特里亚金证明了求解最优控制问题的必要条件,就是要选择可使哈密顿量最小化的控制输入。细节可参考庞特里亚金最小化原理

问题的叙述

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最佳控制的问题,是要选择控制输入,使以下的目标函数有最小值

其中为系统状态,满足状态方程式

控制需满足以下的限制条件

哈密顿量的定义

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其中协态变数组成的向量,其维度和状态变数相同。

若要进一步了解哈密顿量的性质,可参考庞特里亚金最小化原理

离散时间下的哈密顿量

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若问题是在离散时间下,其哈密顿量定义为:

协态方程

(注意此处提到,离散哈密顿量在时间的值和协态变数在时间的值有关[2]。这个小差异很重要,在对微分后,可以在协态方程右边得到和有关的算式。若写法有误,所得的协态方程不是后向的差分方程,会带来错误的结果。)

控制哈密顿量和力学哈密顿量的比较

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威廉·哈密顿定义力学中的哈密顿量为三个变数的函数:

其中定义如下

哈密顿再将方程改为

最佳控制中的哈密顿量则是四个变数的函数:

其要有最大值的相关条件为

上述定义和Sussmann及Willems论文所提的一致[3]。Sussmann及Willems证明了控制哈密顿量可以用在动力学上,例如最速降线问题,不过没有提到康斯坦丁·卡拉西奥多里较早时期在此领域的贡献[4]

参考资料

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  1. ^ Dixit, Avinash K. Optimization in Economic Theory. New York: Oxford University Press. 1990: 145–161. ISBN 0-19-877210-6. 
  2. ^ Varaiya, Chapter 6
  3. ^ Sussmann; Willems. 300 Years of Optimal Control (PDF). IEEE Control Systems. June 1997 [2017-12-15]. (原始内容存档 (PDF)于2010-07-30). 
  4. ^ See Pesch, H. J.; Bulirsch, R. The maximum principle, Bellman's equation, and Carathéodory's work. Journal of Optimization Theory and Applications. 1994, 80 (2): 199–225. doi:10.1007/BF02192933. 

外部链接

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