布雷特施奈德公式

一个四边形

在几何学当中，布雷特施奈德公式是一条任意四边形的面积公式，由德国的数学家布雷特施奈德所发现：

$A={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cdot \cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)}}$

其中，$a,b,c,d$为四边形的边长，$s$为半周长，即$s={\frac {a+b+c+d}{2}}$，而$\alpha ,\gamma$为其中二个对角。

此公式可用于任何四边形，不论是否为圆内接四边形，可视为婆罗摩笈多公式之推广。

布雷特施奈德公式的证明

设四边形的面积为$A$：

${\begin{aligned}A&=\triangle ADB+\triangle BDC\\&={\frac {1}{2}}ad\sin \alpha +{\frac {1}{2}}bc\sin \gamma \end{aligned}}$

可推得：

$4A^{2}=(ad)^{2}\sin ^{2}\alpha +(bc)^{2}\sin ^{2}\gamma +2abcd\sin \alpha \sin \gamma$

由馀弦定理：

$a^{2}+d^{2}-2ad\cos \alpha =b^{2}+c^{2}-2bc\cos \gamma$

移项可得：

${\frac {(a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2})^{2}}{4}}=(ad)^{2}\cos ^{2}\alpha +(bc)^{2}\cos ^{2}\gamma -2abcd\cos \alpha \cos \gamma$

加入$4A^{2}$：

$4A^{2}+{\frac {(b^{2}+c^{2}-a^{2}-d^{2})^{2}}{4}}=(ad)^{2}+(bc)^{2}-2abcd\cdot \cos(\alpha +\gamma )$

运用半角公式及因式分解可得：

$16A^{2}=(a+b+c-d)(a+b+d-c)(a+c+d-b)(b+c+d-a)-16abcd\cdot \cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)$

代入半周长$s$：

$16A^{2}=16(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-16abcd\cdot \cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)$

$\therefore A={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cdot \cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)}}$

相关公式

只适用于圆内接四边形的婆罗摩笈多公式推广了适用于三角形面积的海伦公式，而布雷特施奈德公式推广了婆罗摩笈多公式。

布雷特施奈德公式中的三角函数修正项，可被重写成与四边形的二对角线长 $p$及$q$有关的形式。

$K={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-{\tfrac {1}{4}}(ac+bd+pq)(ac+bd-pq)}}$

相关连接

• 埃里克·韦斯坦因. Bretschneider's formula. MathWorld.