泊松求和公式(英文:Poisson Summation Formula)由法国数学家泊松所发现,它陈述了一个连续时间的信号,做无限多次的周期复制后,其傅立叶级数与其傅立叶转换之间数值的关系,亦可用来求周期信号的傅立叶转换。
设无周期函数具有傅里叶变换:
这里的也可以替代表示为和 。有如下基本的泊松求和公式:
对于二者通过周期求和而得到的周期函数:
这里的参数并且,它们有着同一样的单位。有如下普遍的泊松求和公式[1][2]:
这是一个傅里叶级数展开,其系数是函数的采样。还有:
这也叫做离散时间傅里叶变换。
考虑狄拉克δ函数,制作一个有无限多个,且间隔为的周期函数。
其傅立叶转换为①②
=
=。
设为周期函数的傅立叶级数。
可表示为。
由傅立叶级数得:
。
因此,。
得到等式:,
经由适当的变量代换,以代换,以代换,得(因为n从负无限大到正无限大)
当时,得,
表示一个信号的在时域以为间隔做取样,在频域以为间隔做取样,则两者的所有取样点的总和会有倍的关系。
当时,得,
表示一个信号的在时域以为间隔做取样,在频域以为间隔做取样,则两者的所有取样点的总和会有倍的关系。
综合上述,若时域取样间隔时,同样地,频域取样间隔时,得泊松求和公式。
考虑一个周期为的周期信号,为的傅立叶转换,取出g(t)在区间的一个完整周期,亦即,是的傅立叶转换,其中是矩形函数。是的傅立叶级数。
则
得出一周期信号的傅立叶转换与其傅立叶级数之间的关系。
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Pinsky, M., Introduction to Fourier Analysis and Wavelets., Brooks Cole, 2002, ISBN 978-0-534-37660-4
- ^
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- Benedetto, J.J.; Zimmermann, G., Sampling multipliers and the Poisson summation formula, J. Fourier Ana. App., 1997, 3 (5) [2008-06-19], (原始内容存档于2011-05-24)
- Gasquet, Claude; Witomski, Patrick, Fourier Analysis and Applications, Springer: 344–352, 1999, ISBN 0-387-98485-2
- Higgins, J.R., Five short stories about the cardinal series, Bull. Amer. Math. Soc., 1985, 12 (1): 45–89 [2023-10-30], doi:10.1090/S0273-0979-1985-15293-0 , (原始内容存档于2020-08-12)