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环图

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抽象代数子领域群论中,群的环图展示了一个群的各种循环,并在小有限群的可视化中特别有用。对少于 16 个元素的群,环图确定了群(在同构的意义下)。

环是给定群元素 a 的幂的集合;这里的 an 是元素 a 的 n 次幂,被定义为 a 乘以自身 n 次的乘积。称元素 a 生成了这个环。在有限群中,某个 a 的幂必定是单位元 e;最小的这种幂是环的,即其中的不同元素的数目。在环图中,环被表示为一系列的多边形,顶点表示群元素,而连线指示在这个多边形中所有元素都是同一个环的成员。

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环可以交叠,或者它们除了单位元之外没有公共元素。环图把有价值的环显示为多边形。

如果 a 生成 6 阶环(或简称是 6 阶的),则 a6 = e。那么 a² 的幂的集合 {a², a4, e} 是也一个环,但这实际上没有什么新信息。类似的,a5 生成的环和 a 自身生成的环一样。

所以我们只需要考虑基本的环,即不是其他环的子集的环。它们都生成自某个基本元素 a。给最初群的每个元素一个顶点。对于每个基本元素,连接 ea, a 到 a², ... an-1 到 an, ... 直到回到 e。结果是环图。

(技术上说,上述描述蕴含了如果 a² = ea 是 2 阶的(对合),它与 e 连接了两条边。习惯上只用一个边。)

性质

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作为群的环图的一个例子,考虑二面体群 Dih4。下面左边是这个群的乘法表,右边是环图,其中 e 指示单位元。

二面体群 Dih4 的环图。
o e b a a2 a3 ab a2b a3b
e e b a a2 a3 ab a2b a3b
b b e a3b a2b ab a3 a2 a
a a ab a2 a3 e a2b a3b b
a2 a2 a2b a3 e a a3b b ab
a3 a3 a3b e a a2 b ab a2b
ab ab a b a3b a2b e a3 a2
a2b a2b a2 ab b a3b a e a3
a3b a3b a3 a2b ab b a2 a e

注意环 e, a, a², a³。它可以从乘法表中 a 的连续的幂在事实上表现如此中看出来。反转情况也为真,换句话说: (a³)²=a², (a³)³=a(a³)4=e 。这种表现对于任何群众任何环都为真 - 环可以按任何方向游历。

四元群 Q8 的环图。

包含非素数个元素的环将隐含拥有在图中不连接出来的环。对于上面的群 Dih4,我们可能想要在 a² 和 e 之间连线;因为 (a²)²=e;但是因为 a² 是一个更大环的一部分,我们不这么做。

在两个环共享非单位元的元素的时候可能有歧义。比如考虑简单的四元群,它的环图展示在右侧。在中间行中每个元素在乘以自身的时候都得到 -1 (这里的单位元是 1)。在这种情况下我们可以使用不同颜色追踪各个环,并且还采用对称性处理。

如上所述,两元素的环应该用两条线连接,通常会缩略为一条线。

两个不同的群可以有同样结构的环图,并只能通过乘积表,或依据群的基本元素标记图中元素来区分。这个问题可能出现的最低阶是下面展示的 16 阶的群 Z2 x Z8模群的情况。(注意 - 在这些图中有公共元素的环通过对称性来区分。)

16 阶群 Z2 x Z8 的环图。
16 阶模群的环图。

Z2 x Z8 的乘法表如下:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1 0 3 2 5 4 7 6 9 8 11 10 13 12 15 14
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 0 1
3 2 5 4 7 6 9 8 11 10 13 12 15 14 1 0
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 0 1 2 3
5 4 7 6 9 8 11 10 13 12 15 14 1 0 3 2
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 0 1 2 3 4 5
7 6 9 8 11 10 13 12 15 14 1 0 3 2 5 4
8 9 10 11 12 13 14 15 0 1 2 3 4 5 6 7
9 8 11 10 13 12 15 14 1 0 3 2 5 4 7 6
10 11 12 13 14 15 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
11 10 13 12 15 14 1 0 3 2 5 4 7 6 9 8
12 13 14 15 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
13 12 15 14 1 0 3 2 5 4 7 6 9 8 11 10
14 15 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
15 14 1 0 3 2 5 4 7 6 9 8 11 10 13 12

从环图中可得出的其他信息

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  • 元素的逆元可以在环图中识别出来。它是在相反的方向上有相同距离的元素。

特定群家族的图特征

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特定类型的群有典型的图:

  • 循环群 Zn 简单的是一个单一的 n 边形环,每个元素都是一个顶点。
Z1 Z2 Z3 Z4 Z5 Z6 Z7 Z8
  • 在 n 是素数的时候,形如 (Zn)m 的群将有 (nm-1)/(n-1) 个 n 元素环共享单位元。
Z2² Z2³ Z24 Z3²
  • 二面体群 Dihn 由一个 n 元素环和 n 个 2 元素环构成。
Dih1 Dih2 Dih3 Dih4 Dih5 Dih6 Dih7
  • n次对称群,对于任何 n 阶的群,n 次对称群 Sn 都包含一个同构于这个群的子群。因此所有 n 阶的群的环图都是 Sn 的环图的子图。

参见

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外部链接

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引用

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  • Shanks, D. Solved and Unsolved Problems in Number Theory, 4th ed. New York: Chelsea, 1993.