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空集公理

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集合论中,空集公理Zermelo-Fraenkel 集合论公理之一。

正式表述

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直观上这个公理说:

有着一个集合使得“没有集合”是它的元素

定理 — 

证明
假设

那根据量词公理(A4)

另一方面根据常用的推理性质的(M0)有

这样就会有

这样根据(AND)

因为前面的 在一开始假设里完全被约束,所以对上式以 使用(GEN)

综上所述

这样根据普遍化就有

再以(AND)综合空集公理,本定理就得证了。

也就是直观上,“空集是唯一存在的”,这样根据函数符号与唯一性,可以在 Zermelo-Fraenkel 集合论加入新的常数符号 和以下的新公理

 — 

一般所称的空集公理指的是,而不是据以定义常数符号 的原始公理

解释

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我们可以使用外延公理来证明只有一个这样的集合。因为它是唯一的,我们可以简单名之为空集,并将其标记为 {} 或 。因此这个公理的本质是:

存在一个空集。

空集公理一般被认为是无可争议的,它或它的等价命题出现在任何可替代的集合论的公理化中。

在 ZF 的某些陈述版本中,空集公理实际上在无穷公理中是重复的。换句话说,有不预设空集存在的另一种公理版本。还有,以一常量符号表示空集的话,借此可以把其他 ZF 公理重写成更简洁的版本;那么无穷公理也会用到这个符号而不要求它是空的,尽管需要空集公理来表明它实际上是空的。

而且,在那些不包含无穷集合的集合论中,空集公理仍是需要的。就是说,使用分离公理模式,声称任何集合存在的任何公理都蕴涵空集公理。

引用

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  • Paul Halmos, Naive set theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition).
  • Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN 3-540-44085-2.
  • Kunen, Kenneth, 1980. Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. Elsevier. ISBN 0-444-86839-9.