空集公理

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集合論中,空集公理Zermelo-Fraenkel 集合論公理之一。

形式陳述[編輯]

在 Zermelo-Fraenkel 公理的形式語言中,這個公理讀做:

換句話說:

有著一個集合使得「沒有集合」是它的元素

解釋[編輯]

我們可以使用外延公理來證明只有一個這樣的集合。因為它是唯一的,我們可以簡單名之為空集,並將其標記為 {} 或 。因此這個公理的本質是:

存在一個空集。

空集公理一般被認為是無可爭議的,它或它的等價命題出現在任何可替代的集合論的公理化中。

在 ZF 的某些陳述版本中,空集公理實際上在無窮公理中是重複的。換句話說,有不預設空集存在的另一種公理版本。還有,以一常量符號表示空集的話,藉此可以把其他 ZF 公理重寫成更簡潔的版本;那麼無窮公理也會用到這個符號而不要求它是空的,儘管需要空集公理來表明它實際上是空的。

而且,在那些不包含無窮集合的集合論中,空集公理仍是需要的。就是說,使用分離公理模式,聲稱任何集合存在的任何公理都蘊涵空集公理。

引用[編輯]

  • Paul Halmos, Naive set theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition).
  • Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN 3-540-44085-2.
  • Kunen, Kenneth, 1980. Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. Elsevier. ISBN 0-444-86839-9.