西尔维斯特方程

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西尔维斯特方程(Sylvester equation)是控制理论中的矩阵方程,形式如下[1]

其中ABC是已知的矩阵,问题是要找出符合条件的X。其中所有矩阵的系数都是复数。为了要使方程成立,矩阵的行和列需要满足一定条件,AB都要是方阵,大小分别是nm,而XC要是nm列的矩阵,nm也可以相等,四个矩阵都是大小相同的方阵。

西尔维斯特方程有唯一解X的充份必要条件是A-B没有共同的特征值。

AX+XB=C也可以视为是(可能无穷维中)巴拿赫空间有界算子的方程。此情形下,唯一解X的充份必要条件几乎相同:唯一解X的充份必要条件是A-B不互交[2]

解的存在及唯一[编辑]

利用克罗内克积以及向量化量子英语Vectorization (mathematics),可以改写西尔维斯特方程为

其中单位矩阵。在此形式下,可以将问题改为维的线性系统[3]

命题

假定复数的矩阵,西尔维斯特方程针对任意有唯一解,若且唯 若没有共同的特征值。

证明

考虑线性转换.

(i)假设没有共同的特征值,则其特征方程式 的最大公因式为,因此存在复数多项式,使得。依照Cayley–Hamilton定理,;因此。令的解,则,重复上述作法,可得。因此依照秩-零化度定理是可逆的,因此针对所有的都存在唯一的解

(ii) 相对的,若假设的共同特征值,则也是的特征值。存在非零向量 使得以及。选择使得,向量的元素是的共轭复数,则没有解,因为复数的双线性pairing ,等号的右边为正值,而左侧为零。

Roth消去法则[编辑]

假设二个大小分别为nm的方阵AB,以及大小为nm的矩阵C,则可以确认以下二个大小为n+m的方阵是否彼此相似。这二个矩阵相似的条件是存在一矩阵X使得AX-XB=C,换句话说,X为西尔维斯特方程的解,这称为Roth消去法则(Roth's removal rule)[4]

可以用以下方式检查,若AX-XB=C,则

Roth消去法则无法延伸到巴拿赫空间中的无穷维有界算子中[5]

数值解[编辑]

西尔维斯特方程数值解的经典演算法是Bartels–Stewart演算法,利用QR演算法英语QR algorithm将矩阵和矩阵转换为舒尔形式,再用逆向取代法求解三角矩阵。此演算法若用LAPACK计算,或是GNU Octavelyap函数计算[6],计算复杂度是个数学运算[来源请求]。也可以参考其中的sylvester函数[7][8]。在一些特定的影像处理应用中,西尔维斯特方程会有解析解[9]

相关条目[编辑]

脚注[编辑]

  1. ^ 不过也常写成等效的AX-XB=C.
  2. ^ Bhatia and Rosenthal, 1997
  3. ^ 不过若是要算其数值解,不建议写成此形式,因为求解的计算量很高,而且可能会是病态方程
  4. ^ Gerrish, F; Ward, A.G.B. Sylvester's matrix equation and Roth's removal rule. The Mathematical Gazette. Nov 1998, 82 (495): 423–430. doi:10.2307/3619888. 
  5. ^ Bhatia and Rosenthal, p.3
  6. ^ https://octave.sourceforge.io/control/function/lyap.html
  7. ^ https://www.gnu.org/software/octave/doc/interpreter/Functions-of-a-Matrix.html
  8. ^ The syl command is deprecated since GNU Octave Version 4.0
  9. ^ Wei, Q.; Dobigeon, N.; Tourneret, J.-Y. Fast Fusion of Multi-Band Images Based on Solving a Sylvester Equation. IEEE. 2015, 24 (11): 4109–4121. doi:10.1109/TIP.2015.2458572. 

参考资料[编辑]

  • Sylvester, J. Sur l'equations en matrices px = xq. C. R. Acad. Sci. Paris. 1884, 99 (2): 67–71, 115–116. 
  • Bartels, R. H.; Stewart, G. W. Solution of the matrix equation AX +XB = C. Comm. ACM. 1972, 15 (9): 820–826. doi:10.1145/361573.361582. 
  • Bhatia, R.; Rosenthal, P. How and why to solve the operator equation AX -XB = Y ?. Bull. London Math. Soc. 1997, 29 (1): 1–21. doi:10.1112/S0024609396001828. 
  • Lee, S.-G.; Vu, Q.-P. Simultaneous solutions of Sylvester equations and idempotent matrices separating the joint spectrum. Linear Algebra Appl. 2011, 435 (9): 2097–2109. doi:10.1016/j.laa.2010.09.034. 
  • Wei, Q.; Dobigeon, N.; Tourneret, J.-Y. Fast Fusion of Multi-Band Images Based on Solving a Sylvester Equation. IEEE Transactions on Image Processing. 2015, 24 (11): 4109–4121. doi:10.1109/TIP.2015.2458572. 
  • Birkhoff and MacLane. A survey of Modern Algebra. Macmillan. : 213, 299.