西爾維斯特方程

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西爾維斯特方程(Sylvester equation)是控制理論中的矩陣方程,形式如下[1]

其中ABC是已知的矩陣,問題是要找出符合條件的X。其中所有矩陣的系數都是複數。為了要使方程成立,矩陣的列和行需要滿足一定條件,AB都要是方陣,大小分別是nm,而XC要是nm行的矩陣,nm也可以相等,四個矩陣都是大小相同的方陣。

西爾維斯特方程有唯一解X的充份必要條件是A-B沒有共同的特徵值。

AX+XB=C也可以視為是(可能無窮維中)巴拿赫空間有界算子的方程。此情形下,唯一解X的充份必要條件幾乎相同:唯一解X的充份必要條件是A-B互為不交集[2]

解的存在及唯一[編輯]

利用克羅內克積以及向量化量子英語Vectorization (mathematics),可以改寫西爾維斯特方程為

其中單位矩陣。在此形式下,可以將問題改為維的線性系統[3]

命題

假定複數的矩陣,西爾維斯特方程針對任意有唯一解,若且唯 若沒有共同的特徵值。

證明

考慮線性轉換.

(i)假設沒有共同的特徵值,則其特徵方程式 的最大公因式為,因此存在複數多項式,使得。依照Cayley–Hamilton定理,;因此。令的解,則,重複上述作法,可得。因此依照秩-零化度定理是可逆的,因此針對所有的都存在唯一的解

(ii) 相對的,若假設的共同特徵值,則也是的特徵值。存在非零向量 使得以及。選擇使得,向量的元素是的共軛複數,則沒有解,因為複數的雙線性pairing ,等號的右邊為正值,而左側為零。

Roth消去法則[編輯]

假設二個大小分別為nm的方陣AB,以及大小為nm的矩陣C,則可以確認以下二個大小為n+m的方陣是否彼此相似。這二個矩陣相似的條件是存在一矩陣X使得AX-XB=C,換句話說,X為西爾維斯特方程的解,這稱為Roth消去法則(Roth's removal rule)[4]

可以用以下方式檢查,若AX-XB=C,則

Roth消去法則無法延伸到巴拿赫空間中的無窮維有界算子中[5]

數值解[編輯]

西爾維斯特方程數值解的經典演算法是Bartels–Stewart演算法,利用QR演算法英語QR algorithm將矩陣和矩陣轉換為舒爾形式,再用逆向取代法求解三角矩陣。此演算法若用LAPACK計算,或是GNU Octavelyap函數計算[6],計算複雜度是個數學運算[來源請求]。也可以參考其中的sylvester函數[7][8]。在一些特定的影像處理應用中,西爾維斯特方程會有解析解[9]

相關條目[編輯]

腳註[編輯]

  1. ^ 不過也常寫成等效的AX-XB=C.
  2. ^ Bhatia and Rosenthal, 1997
  3. ^ 不過若是要算其數值解,不建議寫成此形式,因為求解的計算量很高,而且可能會是病態方程
  4. ^ Gerrish, F; Ward, A.G.B. Sylvester's matrix equation and Roth's removal rule. The Mathematical Gazette. Nov 1998, 82 (495): 423–430. doi:10.2307/3619888. 
  5. ^ Bhatia and Rosenthal, p.3
  6. ^ https://octave.sourceforge.io/control/function/lyap.html
  7. ^ https://www.gnu.org/software/octave/doc/interpreter/Functions-of-a-Matrix.html
  8. ^ The syl command is deprecated since GNU Octave Version 4.0
  9. ^ Wei, Q.; Dobigeon, N.; Tourneret, J.-Y. Fast Fusion of Multi-Band Images Based on Solving a Sylvester Equation. IEEE. 2015, 24 (11): 4109–4121. doi:10.1109/TIP.2015.2458572. 

參考資料[編輯]

  • Sylvester, J. Sur l'equations en matrices px = xq. C. R. Acad. Sci. Paris. 1884, 99 (2): 67–71, 115–116. 
  • Bartels, R. H.; Stewart, G. W. Solution of the matrix equation AX +XB = C. Comm. ACM. 1972, 15 (9): 820–826. doi:10.1145/361573.361582. 
  • Bhatia, R.; Rosenthal, P. How and why to solve the operator equation AX -XB = Y ?. Bull. London Math. Soc. 1997, 29 (1): 1–21. doi:10.1112/S0024609396001828. 
  • Lee, S.-G.; Vu, Q.-P. Simultaneous solutions of Sylvester equations and idempotent matrices separating the joint spectrum. Linear Algebra Appl. 2011, 435 (9): 2097–2109. doi:10.1016/j.laa.2010.09.034. 
  • Wei, Q.; Dobigeon, N.; Tourneret, J.-Y. Fast Fusion of Multi-Band Images Based on Solving a Sylvester Equation. IEEE Transactions on Image Processing. 2015, 24 (11): 4109–4121. doi:10.1109/TIP.2015.2458572. 
  • Birkhoff and MacLane. A survey of Modern Algebra. Macmillan. : 213, 299.