转动-振动耦合

旋转振联（Rotational–vibrational_coupling）发生在一物体的转动频率接近其自然共振频率时。例如二个以弹簧相连的物体，以其质心为圆心旋转，同时弹簧本身周期性延展及压缩，就可能会有旋转振联的情形。

在旋转振联中，会出现角速度的振荡。当弹簧施加的力使得转动的物质靠近转动中心时，弹簧弹力（向心力）做功，使得储存在弹簧中的应变能转化为物质的动能。因此，角速度会增加。该弹簧施加的力不会一直将转动物质拉近旋转中心。旋转物质靠旋转中心越近，弹簧施加的弹力越弱，物体的速度也在增加。在某一点的物体的速度增加足够多以至于物体开始再次摆动，进入储存应变能的阶段。

在 直升机的设计中必须包含减震装置，因为在特定的角度，旋转振联会引起螺旋桨的速度振动，如果没有减振装置，振动会引起螺旋桨松动，从而导致灾难的发生。

能量转换

谐振子的恢复力与离中心的距离成正比。

当谐振子在其原点时，系统的所有能量就转换为动能。 当谐振子离原点最远的时候，系统的所有能量都转换为势能。在谐振过程中，系统的能量在动能和势能之间来回变换。

实际的弹簧会有摩擦力。对于实际的弹簧，振动将因阻尼而变慢，最终的情况是两质量体以恒定的距离彼此相互转动，弹簧的张力恒定。

数学推导

以下推导的简化条件为：不考虑弹簧本身的质量，该弹簧是理想弹簧；回复力随弹簧延展线性增加。也就是说，回复力与物体离旋转中心的距离成正比。具有这一特征的恢复力被称为简谐力（harmonic force）。

以下是位置的参数方程，时间的函数，描述旋转质量的运动:

$x=a\cos(\omega t)$ (1)

$y=b\sin(\omega t)$ (2)

符号：

$a$ 是半长轴

$b$ 是半短轴的一半

$\omega$

该运动是时间的函数也可以看作是两种圆周运动的向量组合。 参数方程(1)和(2)可以改写为：

$x=\left({\begin{matrix}{\frac {a+b}{2}}\end{matrix}}\right)\cos(\omega t)+\left({\begin{matrix}{\frac {a-b}{2}}\end{matrix}}\right)\cos(\omega t)$

$y=\left({\begin{matrix}{\frac {a+b}{2}}\end{matrix}}\right)\sin(\omega t)-\left({\begin{matrix}{\frac {a-b}{2}}\end{matrix}}\right)\sin(\omega t)$

进行坐标变换，减去圆周运动，留下有偏心率的椭圆轨道。偏心中心位于距主轴中心$(a+b)/2$处：

$x=\left({\begin{matrix}{\frac {a-b}{2}}\end{matrix}}\right)\cos(2\omega t)$

$y=-\left({\begin{matrix}{\frac {a-b}{2}}\end{matrix}}\right)\sin(2\omega t)$

Category:动力系统