非对称关系

  提示：此条目页的主题不是反对称关系。

在数学中，非对称关系（英语：Asymmetric relation）是二元关系的一种。若集合 $X$ 上的二元关系 $R$ 为非对称关系，则对于所有 $a,b\in X$，$(a,b)\in R\implies (b,a)\not \in R$。换句话说，如果 $a$ 至 $b$ 存在关系，则 $b$ 至 $a$ 不存在关系。

正式定义

一个定义于 $X$ 上的二元关系 $R$ 是 $X\times X$ 的任何子集。给定 $a,b\in X$，我们将 $(a,b)\in R$ 简写为 $aRb$，读作“$a$ 至 $b$ 存在关系 $R$（$a$ is related to $b$ by $R$）”。

如果对于所有 $a,b\in X$，若 $aRb$，则 $b\not Ra$（也就是 $(a,b)\in R\implies (b,a)\not \in R$ ），则我们称 $R$ 是非对称的。以一阶逻辑的形式可以写成：

$$\forall a,b\in X:aRb\implies \lnot (bRa)$$

一个逻辑等价的定义如下：对于所有 $a,b\in X$，$aRb$ 与 $bRa$ 中至少有一为假。以一阶逻辑的形式可以写成：

$$\forall a,b\in X:\lnot (aRb\wedge bRa)$$

非对称关系的一个例子是定义于实数上的“小于关系”，亦即 $R=\{(a,b)\ |\ a<b\}$。由于当 $a$ 小于 $b$ 时，$b$ 一定不小于 $a$，因此 $R$ 是非对称的。另一方面，“小于等于关系”则不是非对称的，因为当 $a=b$ 时，$a\leq b$ 和 $b\leq a$ 会同时成立，不符合非对称关系的定义。

非对称关系不代表对称关系的相反，上述的“小于等于关系”既不是非对称关系，也不是对称关系；而“空关系（$R=\emptyset$）”是唯一同时是非对称关系，也是对称关系的关系。

非对称关系（Asymmetric）与反对称关系（Antisymmetric）的差异在于：反对称关系容许自反性，$(a,a)$ 可以属于 $R$，而非对称关系不允许。如上述的“小于等于关系”即是反对称关系的一例。

特性

• 一个关系为非对称的，若且唯若该关系为反对称且非自反的。
• 对于一个非对称关系 $R$，对其施加限制或求其逆关系后，该关系同样是非对称的。例如，由“$<$”定义的关系是非对称关系（若 $a<b$ 则 $b\not <a$），若将集合从实数限缩至整数，该关系同样是非对称的；求该关系的逆关系“$>$”，该逆关系同样是非对称的。
• 一个递移关系为非对称的，若且唯若该关系为非自反的：若存在 $aRb$ 且 $bRa$ 使得该关系不是非对称，则由递移性可得到 $aRa$，使得该关系同样不是非自反关系。
• 一个关系为递移性的且非对称的，若且唯若该关系为严格偏序的。
• 一个非对称关系不一定是全关系。例如，由“严格子集”定义的关系是非对称关系（若 $A\subset B$ 则 $B\not \subset A$），但不是全关系（$\{1,2\}\not \subset \{3,4\}$ 又 $\{3,4\}\not \subset \{1,2\}$）。

参见

• 反对称关系
• 对称关系