Thin群 (围长)
外观
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数学上,一个群称为thin,如果以任意有限生成集合导出的凯莱图的围长,有一个有限上界。一个不是thin的群称为fat。
给定群的一个生成集合,考虑由之导出的凯莱图。图的顶点是群的元素。当一个元素是另一个元素乘以一个生成元时,将两个元素的对应顶点用一条边相连。这个图是连通图,也是顶点传递的。图中的道路对应于用生成元写成的字。
如果凯莱图中有一个给定长度的圈,则有一个相同长度的圈包含单位元。所以这个图的围长是化约为单位元的非平凡字的最短长度。
若凯莱图中没有圈,其围长定为无限。
群G关于生成集合X的围长记为U(X,G)。
凯莱图的围长依赖于生成集合。一个群是thin,如果对任意有限生成集合,围长都有一个上界。
设为群G的有限生成集合族,记G的围长为
若,则G是thin。
与thin群有关的性质
[编辑]- 任何有限群都是thin。
- 任何自由群都是fat。
- 循环群的围长不大于该群的目。
- 非循环的阿贝尔群的围长不大于4,因任意两个生成元都可交换,而这交换关系给出一个长度为4的非平凡字。
- 二面体群的围长是2。
- 所有可解群都是thin。
外部链接
[编辑]- Schleimer, S. A preliminary paper on girth of groups