Thin群 (圍長)
外觀
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數學上,一個群稱為thin,如果以任意有限生成集合導出的凱萊圖的圍長,有一個有限上界。一個不是thin的群稱為fat。
給定群的一個生成集合,考慮由之導出的凱萊圖。圖的頂點是群的元素。當一個元素是另一個元素乘以一個生成元時,將兩個元素的對應頂點用一條邊相連。這個圖是連通圖,也是頂點傳遞的。圖中的道路對應於用生成元寫成的字。
如果凱萊圖中有一個給定長度的圈,則有一個相同長度的圈包含單位元。所以這個圖的圍長是化約為單位元的非平凡字的最短長度。
若凱萊圖中沒有圈,其圍長定為無限。
群G關於生成集合X的圍長記為U(X,G)。
凱萊圖的圍長依賴於生成集合。一個群是thin,如果對任意有限生成集合,圍長都有一個上界。
設為群G的有限生成集合族,記G的圍長為
若,則G是thin。
與thin群有關的性質
[編輯]- 任何有限群都是thin。
- 任何自由群都是fat。
- 循環群的圍長不大於該群的目。
- 非循環的阿貝爾群的圍長不大於4,因任意兩個生成元都可交換,而這交換關係給出一個長度為4的非平凡字。
- 二面體群的圍長是2。
- 所有可解群都是thin。
外部連結
[編輯]- Schleimer, S. A preliminary paper on girth of groups