威廉·哈密顿
在物理学里,哈密顿原理(英语:Hamilton's principle)是爱尔兰物理学家威廉·哈密顿于1833年发表的关于平稳作用量原理的表述。哈密顿原理阐明,一个物理系统的拉格朗日函数,所构成的泛函的变分问题解答,可以表达这物理系统的动力行为。拉格朗日函数又称为拉格朗日量,包含了这物理系统所有的物理内涵。这泛函称为作用量。哈密顿原理提供了一种新的方法来表述物理系统的运动。不同于牛顿运动定律的微分方程式方法,这方法以积分方程式来设定系统的作用量,在作用量平稳的要求下,使用变分法来计算整个系统的运动方程式。
虽然哈密顿原理本来是用来表述经典力学,这原理也可以应用于经典场,像电磁场或重力场,甚至可以延伸至量子场论等等。
微分方程式时常被用来表述物理定律。微分方程式指定出,随著极小的时间、位置、或其他变数的变化,一个物理变数如何改变。总合这些极小的改变,又加上已知这变数在某一点的数值或导数值,就能求得物理变数在任何点的数值。
哈密顿原理用积分方程式来表述物理系统的运动。我们只需要设定系统在两个点的状态,叫做最初状态与最终状态。然后,经过求解系统作用量的平稳值,我们可以得到系统在,两个点之间,其他点的状态。不但是关于经典力学中的一个单独粒子,而且也关于经典场像电磁场与万有引力场,这表述都是正确的。更值得一提的是,现今,哈密顿原理已经延伸至量子力学与量子场论了。
用变分法数学语言来表述,求解一个物理系统作用量的平稳值(通常是最小值),可以得到这系统随时间的演变(就是说,系统怎样从一个状态演变到另外一个状态)。更广义地,系统的正确演变对于任何微扰必须是平稳的。这要求导致出描述正确演变的微分方程式。
哈密顿原理阐明,一个物理系统的拉格朗日函数
所构成的作用量泛函
,其平稳值是这物理系统的真实演化。
以数学方程式表示,定义作用量为
;
其中,
是系统的拉格朗日函数,广义坐标
是时间
的函数,
和
分别为初始时间和终结时间。
假若,作用量的一次变分
,作用量
为平稳值,则
正确地描述这系统的真实演化。[1]:2
从哈密顿原理可以推导出拉格朗日方程式。假设
是系统的正确运动,微扰函数
为一个虚位移
,虚位移在轨道的两个端点的值是零:
。
取至
的一阶微扰,作用量泛函的一次变分为
。
这里,我们将拉格朗日量
展开至
的一阶微扰。
应用分部积分法于最右边项目:
。
边界条件
使第一个项目归零:
。
作用量泛函
平稳的要求意味著,对于正确运动的任意微扰
,一次变分
必须等于零:
。
特别注意,我们没有对广义坐标
做任何要求。在这里,我们要求所有的广义坐标都互不相依;也就是说,这系统是完整系统。这样,我们可以应用变分法基本引理而得到拉格朗日方程式:
。
在各个物理学领域,拉格朗日方程式都被认为是非常重要的方程式,能够用来精确地理论分析许多物理系统。[1]:2-3
- Herbert Goldstein (1980) Classical Mechanics, 2nd ed., Addison Wesley, pp. 35-69.
- 列夫·朗道and E. M. Lifshitz, Mechanics, Course of Theoretical Physics(Butterworth-Heinenann, 1976), 3rd ed., Vol. 1. ISBN 0-7506-2896-0.
- Arnold VI.(1989)Mathematical Methods of Classical Mechanics, 2nd ed., Springer Verlag, pp. 59-61.