分佈式參數系統

分佈式參數系統（distributed parameter system）不同於集總參數系統，是狀態空間為無限維度的系統。這類系統也稱為是無限維系統。典型的例子是用偏微分方程或是時滯微分方程描述的系統。以下段落所探討的會以線性非時變分佈式參數系統為主。

抽象發展方程

離散時間

假設U、X和Y是希爾伯特空間，而$A\,$ ∈ L(X), $B\,$ ∈ L(U, X), $C\,$ ∈ L(X, Y) 和$D\,$ ∈ L(U, Y)，以下方程可確定一個離散時間的線性非時變系統：

$x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)\,$

$y(k)=Cx(k)+Du(k)\,$

其中$x\,$（狀態）是序列，其值在X內，$u\,$（輸入或是控制）是序列，其值在U內，$y\,$（輸出）為序列，其值在Y內。

連續時間

連續時間的例子類似離散時間，但需要用微分方程表示，不是用差分方程表示：

${\dot {x}}(t)=Ax(t)+Bu(t)\,$,

$y(t)=Cx(t)+Du(t)\,$

接下來複雜的部份就是將實際的問題（例如偏微分方程或是時滯微分方程）加到上述的抽象發展方程中，作法是強制使用無界算子。一般會假定A狀態空間X裡的C0半群。假定B、C和D是有界算子，允許包括多待分析的實際的例子，不過有些實際的例子也會假定B和C是無界的。

例子：偏微分方程

$t>0$及$\xi \in [0,1]$的偏微分方程如下

${\frac {\partial }{\partial t}}w(t,\xi )=-{\frac {\partial }{\partial \xi }}w(t,\xi )+u(t),$

$w(0,\xi )=w_{0}(\xi ),$

$w(t,0)=0,$

$y(t)=\int _{0}^{1}w(t,\xi )\,d\xi ,$

符合上述的抽象發展方程。說明如下：輸入空間U及輸出空間Y都選定是複數的集合，狀態空間X選定是L²(0, 1)，A算子定義為:$Ax=-x',D(A)=\left\{x\in X:x{\text{ absolutely continuous }},x'\in L^{2}(0,1){\text{ and }}x(0)=0\right\}.$ 可以證明A可以產生X空間內的強連續半羣。有界算子B, C和D定義為

$Bu=u,Cx=\int _{0}^{1}x(\xi )\,d\xi ,D=0$

例子：時滯微分方程

時滯微分方程

${\dot {w}}(t)=w(t)+w(t-\tau )+u(t),$

$y(t)=w(t),$

符合上述的抽象發展方程。說明如下：輸入空間U及輸出空間Y都選定是複數的集合，狀態空間X選定是L²(−τ, 0)複數的乘積，A算子定義為

$A{\begin{pmatrix}r\\f\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r+f(-\tau )\\f'\end{pmatrix}},D(A)=\left\{{\begin{pmatrix}r\\f\end{pmatrix}}\in X:f{\text{ absolutely continuous }},f'\in L^{2}([-\tau ,0]){\text{ and }}r=f(0)\right\}.$

可以證明A可以產生X空間內的強連續半羣。有界算子B, C和D定義為

$Bu={\begin{pmatrix}u\\0\end{pmatrix}},C{\begin{pmatrix}r\\f\end{pmatrix}}=r,D=0.$

傳遞函數

分佈式參數系統的傳遞函數和有限維度下的情形相同，都是利用拉氏轉換（連續時間）或是Z轉換（離散時間）來定義。不過有限維度下的傳遞函數是真分式的有理函數，而無限維度的傳遞函數會是無理函數（不過仍然是全純函數）。

離散時間

離散時間的傳遞函數可以用狀態空間參數，表示為以下的形式$D+\sum _{k=0}^{\infty }CA^{k}Bz^{k}$，函數在圓心為原點的圓盤內是全純的。若1/z在A的resolvent set內（可能是另一個以圓心為原點，較小的圓盤），則傳遞函數為$D+Cz(I-zA)^{-1}B$。任何在零點為全純的函數都有對應的離散系統，使該函數為離散系統的傳遞函數。

連續時間

若A可產生強連續半群，且B、C及D為有界算子，則傳遞函數可以用狀態空間參數表示為$D+C(sI-A)^{-1}B$，其中s的實部比A產生半群的指數成長上界要大。在更廣泛的情形下，上述公式不一定有意義，不過上述公式適當推廣後的版本仍然會有效。

若要得到傳遞函數的簡單表示式，較理想的方式是將微分方式進行拉氏轉換，而不是用狀態空間中的參數來表示。

偏微分方程的傳遞函數

令初始條件$w_{0}$為0，將對t進行過拉氏轉換的函數用大寫表示，可以將偏微分方程轉換為以下的形式

$sW(s,\xi )=-{\frac {d}{d\xi }}W(s,\xi )+U(s),$

$W(s,0)=0,$

$Y(s)=\int _{0}^{1}W(s,\xi )\,d\xi .$

這是非齊次線性微分方程，變數為$\xi$，s為參數，且初始條件為零。其解為$W(s,\xi )=U(s)(1-e^{-s\xi })/s$。用此式來代入有Y 的方式中並且積分，可以得到$Y(s)=U(s)(e^{-s}+s-1)/s^{2}$，因此傳遞函數為$(e^{-s}+s-1)/s^{2}$。

時滯微分方程的傳遞函數

類似上述偏微分程的例子，時滯微分方程的傳遞函數為 $1/(s-1-e^{-s})$。

可控制性

在有限維的系統中，可控制性的定義只有一種，但無限維的系統中，有幾種不相容的可控制性定義。以下是最重要的三種：

• 精確可控制性（Exact controllability）
• 近似可控制性（Approximate controllability）
• 零可控制性（Null controllability)

離散時間下的可控制性

在離散時間系統中，將所有U值序列的集合映射到X的映射$\Phi _{n}$相當的重要，其表示式為$\Phi _{n}u=\sum _{k=0}^{n}A^{k}Bu_{k}$。$\Phi _{n}u$是初始條件為零時，給定輸入序列u下達到的狀態。The system is called

• 系統在時間n內為精確可控制（exactly controllable）若$\Phi _{n}$的值域為X。
• 系統在時間n內為近似可控制（approximately controllable）若$\Phi _{n}$的值域是X內的稠密集。
• 系統在時間n內為零可控制（null controllable）若$\Phi _{n}$的值包括Aⁿ的值域。

連續時間下的可控制性

在連續時間系統中，$\Phi _{t}$（表示為$\int _{0}^{t}{\rm {e}}^{As}Bu(s)\,ds$）有和離散時間系統的$\Phi _{n}$一樣重要的角色。不過，控制函數所在的空間也會影響定義。一般的選擇是L²(0, ∞;U)，是在(0, ∞)區間內U值平方可積函數的（等效）空間，不過也有其他的定義，例如L¹(0, ∞;U)。當$\Phi _{t}$的定義域選定之後，有以下幾種不同的可控制性。

• 系統在時間t內為精確可控制（exactly controllable）若$\Phi _{t}$的值域為X。
• 系統在時間t內為近似可控制（approximately controllable）若$\Phi _{t}$的值域為X內的稠密集。
• 系統在時間t內為零可控制（null controllable）若$\Phi _{t}$的值包括${\rm {e}}^{At}$的值域。

可觀察性

就如同有限維度下的情形一樣，無限維度的可觀察性也是可控制性的對偶概念。無限維度有很多種的可觀察性定義，最重要的三個如下：

• 精確可觀察性（exactly observable），也稱為連續可觀察性（continuous observability）
• 近似可觀察性（approximately observable）
• 最終狀態可觀察性（final state observable）

離散時間下的可觀察性

在離散時間系統的可觀察性中，$\Psi _{n}$（將X映射到所有Y值序列空間的映射，若k ≤ n，表示為$(\Psi _{n}x)_{k}=CA^{k}x$，在k > n時，數值為0)。意思是$\Psi _{n}x$是初始條件x，控制輸入為0時的truncated output。有以下幾種可觀察性

• 在時間n有精確可觀察性（exactly observable），若存在 k_n > 0 ，使得　$\|\Psi _{n}x\|\geq k_{n}\|x\|$，在所有 x ∈ X 時都成立
• 在時間n有近似可觀察性（approximately observable），若$\Psi _{n}$為單射
• 在時間n有最終狀態可觀察性（final state observable），若存在 k_n > 0 使得$\|\Psi _{n}x\|\geq k_{n}\|A^{n}x\|$，在所有 x ∈ X 時都成立

連續時間下的可觀察性

在連續時間系統的可觀察性中，$\Psi _{t}$（表示為$(\Psi _{t})(s)=C{\rm {e}}^{As}x$，其中s∈[0,t]，若s>t時為零）的角色和$\Psi _{n}$在離散時間系統中的相當。不過運算子作用的函數空間也會影響其定義。常見的選擇是L²(0, ∞, Y)，是（等效於）在定義域(0,∞)內的Y-值平方可積函數，不過也可以選擇其他的函數空間，例如L¹(0, ∞, Y)。只要選擇了$\Psi _{t}$的輔域，就可以定義不同的可觀察性，有以下幾種可觀察性：

• 在時間t有精確可觀察性（exactly observable），若存在k_t > 0，使得$\|\Psi _{t}x\|\geq k_{t}\|x\|$，在所有 x ∈ X 時都成立
• 在時間t有近似可觀察性（approximately observable），若$\Psi _{t}$為單射
• 在時間t有最終狀態可觀察性（final state observable），若存在 k_t > 0 使得$\|\Psi _{t}x\|\geq k_{t}\|{\rm {e}}^{At}x\|$ ，在所有x ∈ X 時都成立

可控制性和可觀察性的對偶

和有限維度下的情形類似，可控制性和可觀察性也是對偶的概念（若$\Phi$域以及輔域$\Psi$都選用一般的函數空間L²時），這些不同概念的對偶如下：

• 精確可控制性 ↔ 精確可觀察性。
• 近似可控制性 ↔ 近似可觀察性。
• 零可控制性 ↔ 最終狀態可觀察性。

相關條目

• 控制理論
• 狀態空間

參考資料

• Curtain, Ruth; Zwart, Hans, An Introduction to Infinite-Dimensional Linear Systems theory, Springer, 1995 
• Tucsnak, Marius; Weiss, George, Observation and Control for Operator Semigroups, Birkhauser, 2009 
• Staffans, Olof, Well-posed linear systems, Cambridge University Press, 2005 
• Luo, Zheng-Hua; Guo, Bao-Zhu; Morgul, Omer, Stability and Stabilization of Infinite Dimensional Systems with Applications, Springer, 1999 
• Lasiecka, Irena; Triggiani, Roberto, Control Theory for Partial Differential Equations, Cambridge University Press, 2000 
• Bensoussan, Alain; Da Prato, Giuseppe; Delfour, Michel; Mitter, Sanjoy, Representation and Control of Infinite Dimensional Systems second, Birkhauser, 2007