富比尼定理

富比尼定理（英語：Fubini's theorem）是數學分析中有關重積分的一個定理，由數學家圭多·富比尼在1907年提出。富比尼定理給出了使用逐次積分的方法計算雙重積分的條件。在這些條件下，不僅能夠用逐次積分計算雙重積分，而且交換逐次積分的順序時，積分結果不變。「托內利定理」由數學家列奧尼達·托內利在1909年提出，與富比尼定理相似，但是是應用於非負函數而不是可積函數。

定理

若

$\int _{A\times B}|f(x,y)|\,d(x,y)<\infty$，

其中A和B都是σ-有限測度空間，$A\times B$是$A$和$B$的積可測空間，$f:A\times B\mapsto \mathbb {C}$是可測函數，那麼

$\int _{A}\left(\int _{B}f(x,y)\,dy\right)\,dx=\int _{B}\left(\int _{A}f(x,y)\,dx\right)\,dy=\int _{A\times B}f(x,y)\,d(x,y)$，

前二者是在兩個測度空間上的逐次積分，但積分次序不同；第三個是在乘積空間上關於乘積測度的積分。

特別地，如果$f(x,y)=h(x)g(y)$，則

$\int _{A}h(x)\,dx\int _{B}g(y)\,dy=\int _{A\times B}f(x,y)\,d(x,y)$。

如果條件中絕對值積分值不是有限，那麼上述兩個逐次積分的值可能不同。

非負函數的Tonelli定理

托內利定理延續了富比尼定理。托內利定理的結論與富比尼定理一樣，但是條件從$|f|$積分有限改為了$f$非負。

應用

富比尼定理一個應用是計算高斯積分。高斯積分是很多概率論結果的基礎：

$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\alpha x^{2}}\,dx={\sqrt {\frac {\pi }{\alpha }}}$