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布里淵函數和郎之萬函數

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布里淵函數和郎之萬函數(Brillouin and Langevin functions)是理想順磁性材料研究中的一對特殊函數

布里淵函數

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布里淵函數[1][2]形式為:

其中, 為實數, 為正整數或半整數,函數的值域為從-1()到1()。

布里淵函數是計算理想順磁體的磁化強度時引入的。它描述了磁化強度 與外加 磁場 、材料微觀磁矩總角動量量子數 J之間的關係。磁化強度由下式給出:[1]

其中, 單位體積內原子的數目,g因數英語g-factor (physics)玻爾磁子 為外場中磁矩的塞曼能英語Zeeman energy與無規熱能 之比:

其中,波爾茲曼常數 為絕對溫度。

郎之萬函數

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郎之萬函數 (紅線) 與 (藍線)。

在經典極限,磁矩可以連續地沿外場取向,,布里淵函數可以化簡為郎之萬函數,形式為:

高分子物理學中,受外力拉伸的理想高分子鏈的平均末端距也用郎之萬方程描述:[3]

其中,庫恩長度為高分子鏈長,為施加在鏈末端的外力。

x為小量時,郎之萬函數可由其截斷的泰勒級數近似:

郎之萬函數還可以由以下連分式近似:

郎之萬函數的逆函數可由下式近似:[4]

其中,x的取值範圍為(-1, 1)。

當x比較小時,一個更好的近似為:

郎之萬逆函數的泰勒級數為:[5]

高溫極限

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時,即 很小,磁矩可以由居里定律近似:

其中 為常數, 為有效波爾磁子數目。

強場極限

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,布里淵函數的值趨於 1,材料的磁化強度飽和,磁矩的取向完全沿外場方向,於是有

參考文獻

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  1. ^ 1.0 1.1 C. Kittel, Introduction to Solid State Physics (8th ed.), pages 303-4 ISBN 978-0-471-41526-8
  2. ^ Darby, M.I. Tables of the Brillouin function and of the related function for the spontaneous magnetization. Brit. J. Appl. Phys. 1967, 18 (10): 1415–1417. Bibcode:1967BJAP...18.1415D. doi:10.1088/0508-3443/18/10/307. 
  3. ^ Michael Rubinstein and Ralph H. Colby. Polymer Physics. Oxford University Press. 2003: 76. ISBN 978-0-19-852059-7. 
  4. ^ Cohen, A. A Padé approximant to the inverse Langevin function. Rheologica Acta. 1991, 30 (3): 270–273. doi:10.1007/BF00366640. 
  5. ^ Johal, A. S.; Dunstan, D. J. Energy functions for rubber from microscopic potentials. Journal of Applied Physics. 2007, 101 (8): 084917. Bibcode:2007JAP...101h4917J. doi:10.1063/1.2723870.