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拉普拉斯-德拉姆算子

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我們可以在微分流形外代數上定義一個拉普拉斯微分算子。在黎曼流形上它是一個橢圓型算子,而在洛倫茲流形上是雙曲型的。拉普拉斯–德拉姆算子(Laplace-de Rham operator)定義為

這裡 d 是外導數而 δ 是余微分。當作用在數量函數上,余微分可以定義為 δ = −d,這裡 霍奇星算子;更一般地,余微分可能包含與所作用的 k-形式的階數有關的一個符號。

可以證明拉普拉斯–德拉姆算子作用在數量函數 f 上時與前面的拉普拉斯–貝爾特拉米算子定義相同;細節參見證明。注意拉普拉斯–德拉姆算子事實上是負拉普拉斯–貝爾特拉米算子;這個符號來自定義余微分的習慣。不幸的是,兩者都用 Δ 表示,經常成為混亂之源。

性質

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給定數量函數 fh,以及一個實數 a,拉普拉斯–德拉姆算子有如下性質:

  1.     (證明)