楊氏不等式

在數學上，楊氏不等式，指出：假設 $a$, $b$, $p$ 和$q$ 是正實數 ，且有${\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1$ ，那麼：

$ab\leq {\frac {a^{p}}{p}}+{\frac {b^{q}}{q}}.$

等號成立當且僅當 $a^{p}=b^{q}$ ，因為這時$ab=a(b^{q})^{1 \over q}=aa^{p \over q}=a^{p}={a^{p} \over p}+{b^{q} \over q}$。

楊氏不等式是加權算術－幾何平均值不等式的特例，也是證明赫爾德不等式的一個快捷方法。該不等式以威廉·亨利·楊命名。

證明

我們知道函數$f(x)=e^{x}$ 是一個凸函數， 因為它的二階導數恆為正。 從而我們有：

$ab=e^{\ln(a)}e^{\ln(b)}=e^{{1 \over p}\ln(a^{p})+{1 \over q}\ln(b^{q})}\leq {1 \over p}e^{\ln(a^{p})}+{1 \over q}e^{\ln(b^{q})}={a^{p} \over p}+{b^{q} \over q}$

這裡我們使用了凸函數的一個性質：對任意 $t$ ，若 $0<t<1$，則有：

$f(tx+(1-t)y)\leq tf(x)+(1-t)f(y)$

推廣

設$\phi :\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$是一個連續、嚴格遞增函數且 $\phi (0)=0$ 。那麼下面的不等式成立：

$ab\leq \int _{0}^{a}\phi (x)dx+\int _{0}^{b}\phi ^{-1}(y)dy$

觀察$\phi (x)$的圖形，很容易看出這個不等式的一個直觀證明：以上兩個積分式所表示的區域之和比由$a$和$b$組成的矩形的面積大。

參考來源

• 邢家省. Young不等式在Lp空间中的应用. 聊城大學學報（自然科學版）. 2007年 第3期, 第20卷. ISSN 1672-6634(2007)03-0019-04 . 
• 張願章. Young不等式的证明及应用. 河南科學. 2004年 第01期, 第22卷. ISSN 1004-3918(2004)01-0023-07 .