赫爾德不等式是數學分析的一條不等式,取名自德國數學家奧托·赫爾德。這是一條揭示Lp空間的相互關係的基本不等式:
設
為測度空間,
,及
,設
在
內,
在
內。則
在
內,且有
![{\displaystyle \|fg\|_{1}\leq \|f\|_{p}\|g\|_{q},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff176cbeeb74b87a5c2017b5fef1520c094e7b3e)
等号当且仅当
与
(幾乎處處)线性相关时取得,即有常數
使得
對幾乎所有
成立。
若
取作
附計數測度,便得赫爾德不等式的特殊情形:對所有實數(或複數)
,有
。
我们称p和q互为赫尔德共轭。
若取
為自然數集附計數測度,便得與上類似的無窮級數不等式。
當
,便得到柯西-施瓦茨不等式。
赫爾德不等式可以證明
空間上一般化的三角不等式,閔可夫斯基不等式,和證明
空間是
空間的對偶。
- 如果1 ≤ p,q < ∞,那么||f ||p和||g||q表示(可能无穷的)表达式:
以及 ![{\displaystyle {\biggl (}\int _{S}|g|^{q}\,\mathrm {d} \mu {\biggr )}^{1/q}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9ba00b01d2bb3d6225e9f3b493fddc7f25b9e84)
- 如果p = ∞,那么||f ||∞表示|f |的本性上确界,||g||∞也类似。
- 在赫尔德不等式的右端,0乘以∞以及∞乘以0意味着 0。把a > 0乘以∞,则得出 ∞。
赫尔德不等式有许多证明,主要的想法是杨氏不等式。
如果||f ||p = 0,那么f μ-几乎处处为零,且乘积fg μ-几乎处处为零,因此赫尔德不等式的左端为零。如果||g||q = 0也是这样。因此,我们可以假设||f ||p > 0且||g||q > 0。
如果||f ||p = ∞或||g||q = ∞,那么不等式的右端为无穷大。因此,我们可以假设||f ||p和||g||q位于(0,∞)内。
如果p = ∞且q = 1,那么几乎处处有|fg| ≤ ||f ||∞ |g|,不等式就可以从勒贝格积分的单调性推出。对于p = 1和q = ∞,情况也类似。因此,我们还可以假设p, q ∈ (1,∞)。
分别用f和g除||f ||p||g||q,我们可以假设:
![{\displaystyle \|f\|_{p}=\|g\|_{q}=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5d1409a992773d324107bc1d64ef33bfc54c0e9)
我们现在使用杨氏不等式:
![{\displaystyle ab\leq {\frac {a^{p}}{p}}+{\frac {b^{q}}{q}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8bc5a6d7e3154cea4c1f3e052ecf5530dfca962)
对于所有非负的a和b,当且仅当ap = bq时等式成立。因此:
![{\displaystyle |f(s)g(s)|\leq {\frac {|f(s)|^{p}}{p}}+{\frac {|g(s)|^{q}}{q}},\qquad s\in S.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3dac616fdd42f9862d9f02038d04d7c79fa2cb3)
两边积分,得:
![{\displaystyle \|fg\|_{1}\leq 1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4262fd5646498202baa77ef596a48f2e93b2e212)
这便证明了赫尔德不等式。
在p ∈ (1,∞)和||f ||p = ||g||q = 1的假设下,等式成立当且仅当几乎处处有|f |p = |g|q。更一般地,如果||f ||p和||g||q位于(0,∞)内,那么赫尔德不等式变为等式,当且仅当存在α, β > 0(即α = ||g||q且β = ||f ||p),使得:
μ-几乎处处 (*)
||f ||p = 0的情况对应于(*)中的β = 0。||g||q =0 的情况对应于(*)中的α = 0。
当
时,
不再满足三角不等式,此时成立反向赫尔德不等式(Reverse Hölder inequality):
![{\displaystyle \|fg\|_{1}\geq \|f\|_{p}\|g\|_{q}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/439672f16157d365b0140208c88a206a7f4353b0)
- Hardy, G.H.; Littlewood, J.E.; Pólya, G., Inequalities, Cambridge Univ. Press, 1934, ISBN 0521358809
- Hölder, O., Ueber einen Mittelwerthsatz, Nachr. Ges. Wiss. Göttingen, 1889: 38–47
- Kuptsov, L.P., Hölder inequality, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
- Rogers, L J., An extension of a certain theorem in inequalities, Messenger of math, 1888, 17: 145–150
- Kuttler, Kenneth, An introduction to linear algebra (PDF), Online e-book in PDF format, Brigham Young University, 2007 [2009-02-02], (原始内容存档 (PDF)于2008-08-07)
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