赫爾德不等式

赫爾德不等式是數學分析的一條不等式，取名自德國數學家奧托·赫爾德。這是一條揭示L^p空間的相互關係的基本不等式：

設 $S$ 為測度空間， $1\leq p,q\leq \infty$ ，及 ${1 \over p}+{1 \over q}=1$ ，設 $f$ 在 $L^{p}(S)$ 內， $g$ 在 $L^{q}(S)$ 內。則 $f{\mbox{ }}g$ 在 $L^{1}(S)$ 內，且有

\|fg\|_{1}\leq \|f\|_{p}\|g\|_{q},

等號當且僅當 $|f|^{p}$ 與 $|g|^{q}$ （幾乎處處）線性相關時取得，即有常數 $\alpha ,\beta$ 使得 $\alpha |f(x)|^{p}=\beta |g(x)|^{q}$ 對幾乎所有 $x\in S$ 成立。

若 $S$ 取作 $\{1,...,n\}$ 附計數測度，便得赫爾德不等式的特殊情形：對所有實數（或複數） $x_{1},{\mbox{ }}...,{\mbox{ }}x_{n};{\mbox{ }}y_{1},{\mbox{ }}...,{\mbox{ }}y_{n}$ ，有

\sum _{k=1}^{n}|x_{k}y_{k}|\leq \left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{p}\right)^{1/p}\left(\sum _{k=1}^{n}|y_{k}|^{q}\right)^{1/q}

。

我們稱p和q互為赫爾德共軛。

若取 $S$ 為自然數集附計數測度，便得與上類似的無窮級數不等式。

當 $p=q=2$ ，便得到柯西-施瓦茨不等式。

赫爾德不等式可以證明 $L^{p}$ 空間上一般化的三角不等式，閔可夫斯基不等式，和證明 $L^{p}$ 空間是 $L^{q}$ 空間的對偶。

備註

在赫爾德共軛的定義中，1/∞意味着零。

如果1 ≤ p，q < ∞，那麼||f ||_p和||g||_q表示（可能無窮的）表達式：

{\biggl (}\int _{S}|f|^{p}\,\mathrm {d} \mu {\biggr )}^{1/p}

以及

{\biggl (}\int _{S}|g|^{q}\,\mathrm {d} \mu {\biggr )}^{1/q}.

如果p = ∞，那麼||f ||_∞表示|f |的本性上確界，||g||_∞也類似。

在赫爾德不等式的右端，0乘以∞以及∞乘以0意味着 0。把a > 0乘以∞，則得出 ∞。

證明

赫爾德不等式有許多證明，主要的想法是楊氏不等式。

如果||f ||_p = 0，那麼f μ-幾乎處處為零，且乘積fg μ-幾乎處處為零，因此赫爾德不等式的左端為零。如果||g||_q = 0也是這樣。因此，我們可以假設||f ||_p > 0且||g||_q > 0。

如果||f ||_p = ∞或||g||_q = ∞，那麼不等式的右端為無窮大。因此，我們可以假設||f ||_p和||g||_q位於(0,∞)內。

如果p = ∞且q = 1，那麼幾乎處處有|fg| ≤ ||f ||_∞ |g|，不等式就可以從勒貝格積分的單調性推出。對於p = 1和q = ∞，情況也類似。因此，我們還可以假設p, q ∈ (1,∞)。

分別用f和g除||f ||_p||g||_q，我們可以假設：

\|f\|_{p}=\|g\|_{q}=1.

我們現在使用楊氏不等式：

ab\leq {\frac {a^{p}}{p}}+{\frac {b^{q}}{q}},

對於所有非負的a和b，當且僅當a^p = b^q時等式成立。因此：

|f(s)g(s)|\leq {\frac {|f(s)|^{p}}{p}}+{\frac {|g(s)|^{q}}{q}},\qquad s\in S.

兩邊積分，得：

\|fg\|_{1}\leq 1,

這便證明了赫爾德不等式。

在p ∈ (1,∞)和||f ||_p = ||g||_q = 1的假設下，等式成立當且僅當幾乎處處有|f |^p = |g|^q。更一般地，如果||f ||_p和||g||_q位於(0,∞)內，那麼赫爾德不等式變為等式，當且僅當存在α, β > 0（即α = ||g||_q且β = ||f ||_p），使得：

\alpha |f|^{p}=\beta |g|^{q}\,

μ-幾乎處處 (*)

||f ||_p = 0的情況對應於(*)中的β = 0。||g||_q =0 的情況對應於(*)中的α = 0。

反向赫爾德不等式

當 $0<p<1$ 時， $\|\cdot \|_{p}$ 不再滿足三角不等式，此時成立反向赫爾德不等式(Reverse Hölder inequality):

\|fg\|_{1}\geq \|f\|_{p}\|g\|_{q}

參考文獻

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Hölder, O., Ueber einen Mittelwerthsatz, Nachr. Ges. Wiss. Göttingen, 1889: 38–47
Kuptsov, L.P., Hölder inequality, Hazewinkel, Michiel (編), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
Rogers, L J., An extension of a certain theorem in inequalities, Messenger of math, 1888, 17: 145–150
Kuttler, Kenneth, An introduction to linear algebra (PDF), Online e-book in PDF format, Brigham Young University, 2007 [2009-02-02], （原始內容存檔 (PDF)於2008-08-07）
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