烏拉螺旋
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![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/69/Ulam_1.png/220px-Ulam_1.png)
質數螺旋(Ulam spiral)是一個簡單的展示出素數的一定明顯規律的結構,同時它指出一些二次多項式有着大量生成素數(富素數)的特性。該圖形是由數學家斯坦尼斯瓦夫·烏拉姆在1963年,在一個科學會議上聽取一個「又長又無聊的」報告[1]時信手塗鴉所發現的。不久以後,作為一個計算機圖形的早期應用,烏拉姆與他的協作者邁倫·斯坦(Myron Stein)和馬克·韋爾斯(Mark Wells)在洛斯阿拉莫斯國家實驗室使用了MANIAC II代碼生成了該65000以內的素數構成的螺旋[2][1][3]。1964年3月,馬丁·加德納 在他出版的書籍——《趣味數學》上寫了一篇關於質數螺旋的內容[1]。質數螺旋之後也出現在了《科學美國人》的雜誌首頁上。
在《科學美國人》雜誌的附錄中[4]提及到,加德納指出,爬蟲兩棲類學者勞倫斯·門羅·克勞伯在1932年——在烏拉姆的發現之前30多年——的美國數學學會上所做的報告中,便有為了研究富素數二次多項式而將素數排列為二維結構的例子。與烏拉姆不同的是,克勞伯的數列不是以正方形結構,而是用三角形來寫的。[5]
構造
[編輯]烏拉姆是寫下了一個正方形的數組來構造了這個螺旋數組,從1開始且開始按照這個螺旋規律:
![從1至49的素數位置](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Ulam_spiral_howto_all_numbers.svg/200px-Ulam_spiral_howto_all_numbers.svg.png)
他然後圈起了所有的素數(如下圖):
![小型質數螺旋表](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3c/Ulam_spiral_howto_primes_only.svg/200px-Ulam_spiral_howto_primes_only.svg.png)
令他吃驚的是這堆圈起來的數字趨向於與對角線排成一行。在200×200的烏拉姆素數表當中(上圖),其中對角線都是清晰可見且完成整一個表,而且水平線和垂直線都是有證明顯著突出素數的樣子。
在這堆素數表中,除了2這個偶數是素數外,其它都是由奇數組成的。在質數螺旋里,相鄰的對角線都是與每個奇數相交的,毫不奇怪地所有素數都是躺在該螺旋的每個相鄰的對角線中。這是從1開始以來,素數有更高的趨勢躺在更多的對角線上。
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/81/Ulam4004001.png/220px-Ulam4004001.png)
測試到現在為止,都證明出對角線都是以素數組成(如右圖)。雖然這個數列看起來好像出現即使不是1的中間數字(實際上那個數字>1)。這也暗示着有許多的整數常量「b」和「c」就得出以下公式:
當數列n每次增加1,一堆的素數就會與更多的素數將會對照出來。
附註
[編輯]- ^ 1.0 1.1 1.2 Gardner 1964,第122頁.
- ^ Stein, Ulam & Wells 1964,第520頁.
- ^ Hoffman 1988,第41頁.
- ^ Gardner 1971,第88頁.
- ^ Guide to the Martin Gardner papers, The Online Archive of California: 155, 2009 [2014-01-11], (原始內容存檔於2020-08-14)。
參考資料
[編輯]- Gardner, M., Mathematical Games: The Remarkable Lore of the Prime Number, Scientific American, March 1964, 210: 120–128, doi:10.1038/scientificamerican0364-120.
- Gardner, M., Martin Gardner's Sixth Book of Mathematical Diversions from Scientific American, University of Chicago Press, 1971, ISBN 978-0-226-28250-3.
- Hardy, G. H.; Littlewood, J. E., Some Problems of 'Partitio Numerorum'; III: On the Expression of a Number as a Sum of Primes, Acta Mathematica, 1923, 44: 1–70, doi:10.1007/BF02403921
.
- Hoffman, Paul, Archimedes' Revenge: The Joys and Perils of Mathematics, New York: Fawcett Colombine, 1988, ISBN 0-449-00089-3.
- Stein, M. L.; Ulam, S. M.; Wells, M. B., A Visual Display of Some Properties of the Distribution of Primes, American Mathematical Monthly (Mathematical Association of America), 1964, 71 (5): 516–520, JSTOR 2312588, doi:10.2307/2312588.
- Stein, M.; Ulam, S. M., An Observation on the Distribution of Primes, American Mathematical Monthly (Mathematical Association of America), 1967, 74 (1): 43–44, JSTOR 2314055, doi:10.2307/2314055.
外部連結
[編輯]- Prime Spirals - Numberphile (頁面存檔備份,存於網際網路檔案館), 詹姆斯・格里姆博士和諾丁漢大學 YouTube視頻
- 41 and more Ulam's Spiral - Numberphile (頁面存檔備份,存於網際網路檔案館), 詹姆斯・克萊威特博士和諾丁漢大學 Youtube視頻